1、高考资源网（） 您身边的高考专家数学试题（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A=x|3x-1m,若1A且2A,则实数m的取值范围是()A.2m5B.2m5C.2m5D.2m52. 数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”若为虚数单位，（a，x，yR），且，则的虚部为（）A2B2CD3命题p：若a、bR，则是的充分而不必要条件；命题q：函
2、数y=的定义域是（，1 3，+，则（）A.“”为假 B.“”为真 C. D. 4若a0，b0，二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则定积分+的最小值为（）A0B1C2 D35.设函数，曲线在点（2，f（2）处的切线方程为已知方程 有x1，x2，x3，x4共4个不等实根，则（）A0B1C2D46下列命题是假命题的是（）A若直线ax+by+1=0的方向向量为(1,1), 则此直线的倾斜角为 ;B用独立性检验（22列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大;C已知向量（x1，2），（2，1），则x2是0的必要条件;D函数的
3、增区间是.7不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8函数的图象大致是（ D ）9已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 10已知函数和函数的图象的对称轴完全相同，则的值为（）ABCD11.若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或D. 12.已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则的最小值为（ ）A1B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要
4、求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若直线y = kx与曲线相切，则k的值是 14.设函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则515连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，1）的夹角成为直角三角形内角的概率是【命题意图】考查几何概型【答案】【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，（m，n）与（1，1）不可能同向夹角0（0，0，mn0，即mn当m6时，n6，5，4，3，2，1；当m5时，n5，4，3，2，1；当m4时，n4，3，2，1；当m3时，n3，2，1；当m2时，n2，1；当m1时，n1满足条件的事
5、件数6+5+4+3+2+1概率P16如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_.【答案】【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个
6、零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由【分析】（1）X的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（2）求出EX15.0656，从而1000箱零件
7、的人工检验总费用的数学期望为1000EX15065.6元再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元，得到应该选择人工检验解：（1）X的可能取值为8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20）10.41120.5888，则X的分布列为X820P0.41120.5888（2）由（1）知，EX80.4112+200.588815.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX15065.6元因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元，且1600015065.6，所以应该选择人工检验18.在AB
8、C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2ac）（a2b2+c2）2abccosC（1）求角B的大小；（2）若sinA+1（cosC）0，求的值【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosB，结合范围B（0，180），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30），结合范围A+30（30，150），可求A30，由正弦定理即可求得的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）（2ac）（a2b2+c2）2abccosC（2ac）2accosB2abccosC（2ac）cosBbcosC3分，由正弦定理可得：，
9、a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，sinA0，cosB，B（0，180），B606分（2）sinA+1（cosC）0，sinA+1cosC0，可得：sinAcosC，B60，C180BA120A，sinAcos（120A），可得：cosAsinA，cos（A+30），A（0，120），A+30（30，150），A30，由正弦定理，B60，A30，可得：12分19如图1，在ABC中，ABBC2，ABC，D为AC的中点，将ABD沿BD折起，得到如图2所示的
10、三棱锥PBCD，二面角PBDC为直二面角（1）求证：平面PBC平面PBD；（2）设E，F分别为PC，BC的中点，求二面角CDEF的余弦值【分析】（1）推导出AC2，CD，BD1，从而BCBD，再由平面BCD平面PBD，得BC平面PBD，由此能证明平面PBC平面PBD（2）以B为坐标原点，BC为x轴，BD为y轴，过点B作垂直于平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CDEF的余弦值解：（1）证明：在ABC中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC20，AC2，D为AC的中点，CD，（）21，BD1，BD2+BC2CD2，BCBD，二面角PBDC为直二面角，平面BCD
11、平面PBD，BC平面PBD，BC平面PBC，平面PBC平面PBD（2）解：以B为坐标原点，BC为x轴，BD为y轴，过点B作垂直于平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P（0，2，2），设E，F分别为PC，BC的中点，E（1，1，1），F（1，0，0），（2，1，0），（1，0，1），（1，1，0），设平面CDE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），设平面DEF的法向量（a，b，c），则，取a1，得（1，1，1），设二面角CDEF的平面角为，则cos二面角CDEF的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余
12、弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知F（0，1）为平面上一点，H为直线l：y1上任意一点，过点H作直线l的垂线m，设线段FH的中垂线与直线m交于点P，记点P的轨迹为（1）求轨迹的方程；（2）过点F作互相垂直的直线AB与CD，其中直线AB与轨迹交于点A、B，直线CD与轨迹交于点C、D，设点M，N分别是AB和CD的中点问直线MN是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由；求FMN的面积的最小值（1）设P的坐标，由题意可得|PF|PH|，整理可得P的轨迹方程；（2）由题意可得直线BA，CD的斜率都存在，设直线AB的方程与抛物线联立
13、求出两根之和，进而求出AB的中点M的坐标，同理可得N的坐标，进而求出直线MN的斜率，再求直线MN的方程，可得恒过定点；因为直线MN恒过定点，所以得SFMN|xMxN|，由均值不等式可得FMN的面积的最小值为4设P的坐标（x，y）由题意可得|PF|PH|，所以|y+1|，整理可得x24y，所以轨迹的方程：x24y；（2）由题意可得直线AB，CD的斜率均存在，设直线AB的方程：ykx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立，整理可得：x24kx40，x1+x24k，y1+y2k（x1+x2）+24k2+2，所以AB的中点M（2k，2k2+1），同理可得N（，1），所以直线MN的斜
14、率为k，所以直线MN的方程为：y（2k2+1）（k）（x2k），整理可得y（k）x+3，所以恒过定点Q（0，3）所以直线恒过定点（0，3）；从而可得SFMN|xMxN|2k|2|k|4，所以FMN的面积的最小值为4本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不等式的应用，属于中档题21.已知函数，且曲线在（2，f(2)）处的切线斜率为1.（1）求实数a的值； （2）证明：当时，； （3）若数列满足，且，证明：.答案：（1）易得a=2 2分（2）只需证：当时，在（0，+）上单调递增，则在（0，+）上单调递增，当时，.（3）证明：由（2）知，当时，,设g(，则，要证，只需证，
15、,，则故只需证，故只需证，即证只需证当时，.，. 所以，原不等式成立请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. (满分10分)22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足（）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值【分析】（）推导出x2+y21（x1），从而1，（m2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程（）2，设A（1，1），B（），由此能求出解：（）曲线C的参数方程为（t为参数）点p（x0，y0）
16、在曲线C上，x2+y2（）2+（）21，（1，1，x1，x2+y21（x1），点Q（m，n）满足，1，（m2），动点Q的轨迹C的极坐标方程为：32cos2+42sin212（）（）2，设A（1，1），B（），【点评】本题考查动点的极坐标方程的求法，考查代数式求值，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23设函数f（x）2|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）4的解集（2）记函数f（x）的最小值为t，若a，b，c为正实数，且a+b+ct，求的a2+b2+c2最小值【分析】（1）对f（x）去绝对值改写为分段函数的形式，然后分别解不等式，从而得到不等式的解集；（2）根据（1）求出f（x）的最小值，然后由a2+b2+c2，求出a2+b2+c2最小值解：（1）f（x）2|x1|+|x+1|，f（x）4，或或，或x1或x1，不等式的解集为；（2）由（1）知f（x）minf（1）2，函数f（x）的最小值为t，a+b+ct2，a2+b2+c2，当且仅当时取等号，a2+b2+c2的最小值为- 12 - 版权所有高考资源网
