1、教授人：黄如杰 日期：2022.12.19 三角函数的概念 知识回顾在初中我们学习了锐角三角函数的定义，如图所示的直角三角ABC中，A是锐角，C是直角提问：A 的正弦值、余弦值、正切值分别等于什么？CAB斜边对边邻边斜边的对边AAsin斜边的邻边AAcos的邻边的对边AAAtan思考：若角A的范围扩大到任意角，这三个值又怎么计算呢？如图所示：点P是单位圆O上的一个动点，以点A为起点做逆时针方向旋转，请你建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况.即射线从OA的位置开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.问题：O11xy),(yxP11A分析：以点O为坐标原点，以OA作为x轴的正方向，建立
2、平面直角坐标系xOy.则点A的坐标为，点P的坐标为.),(yx)0,1(点P的坐标是唯一确定的吗？坐标与角有什么关系？的坐标是什么？时，点当P6 的坐标又是什么？时，点当P2），（2123），（10)6sin,6(cos)2sin,2(cos6265），（2123)65sin,65(cos的坐标是什么？时，点当P65 探索新知O11xyx),(yxPy11A)sin,cos(P三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.R下面给出 设角是一个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点.R),(yxP叫做的正弦函数，记作 ，即
3、sinsinyy叫做的余弦函数，记作 ，即 coscosxx叫做的正切，记作 ，即 tan）（0tanxxyxy的也称为角）时，（当xyZkk 2正切函数.1.以上三个法则都是以角为自变量的函数。2.依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值和正弦值与之对应，所以正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数。对于角的正切，当x=0，即的终边在y轴上，也就是时，没有意义，所以正切函数的定义域是.Zkk，2|）（Zkk2注意事项2321则35sin 35cos 35tan 31.已知 的终边与单位圆的交点坐标为.)2321(，35A.513,-1213 B.-513,1213 C.1213
4、,-513 D.-1213,513 2.已知 ，则角的终边与单位圆的交点坐标是（）.1312cos135sin，D概念应用 21O11xy11（2）因为角 的终边与x轴的负半轴重合，与单位圆交于点P(-1，0)【例1】求下列各角的正弦、余弦和正切。2（1）（2）不存在。（）（）（2tan,02cos,12sin解：(1)因为角 的终边与y轴的负半轴重合，与单位圆交于点P(0，-1)，.0tan1cos0sinxy，由三角函数的定义得 由三角函数的定义得 22例题巩固）不存在。（）（）（2tan,02cos,12sin2。的正弦、余弦和正切值与分别求角230解：（1）角0的终边与x轴的正半轴重合
5、，与单位圆交于点P（1，0），由三角函数的定义得（2）因为角的终边与y轴的负半轴重合，与单位圆点P（0，-1），23.0tan10cos00sinxy，.23tan023cos123sin不存在，由三角函数的定义得 概念应用 以原点O为圆心，作单位圆，设角的终边与这个圆的交点为.),(000yxP11xy110 x0y),(000yxP由三角形相似易知：【例2】如图所示：已知角 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与坐标原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离记为r.tan,cos,sinxyrxry求证：)0(22ryxOPr小贴士：证明：Oxyr),(yxPM0M分别过点 和 作
6、x轴的垂线 ，垂足分别为 ，则 PM00MPP0PM0MyPM 000yMP00 xOMxOM rPMMP100ryy0即，同号，所以与因为ryyyy00.sinry即同理可证.tancosxyrx，yPM 知识拓广任意角的三角函数的广义定义：Oxyr),(yxP叫做的正弦函数，记作 ，即 sinsinryry叫做的余弦函数，记作 ，即 coscosrxrx叫做的正切函数，记作 ，即 tan）（0tanxxyxy 设角是一个任意角，它的终边上任意一点P（非坐标原点）的坐标为 ，R),(yxP)0(22ryxOPr令正弦函数、余弦函数和正切函数，统称为三角函数.cscsin1yrseccos1x
7、rcottan1yx例题巩固【例3】已知角的终边经过点P(2，3)(如图)，求的三个三角函数值.解：由x2，3得13133133sin ry13132132cos rx23tan xy13)3(222r步骤：1.根据横纵坐标求r2.根据三角函数的定义求各个三角函数值注意：1.求r以及三角函数值的时候要仔细认真，看清符号2.注意分母有理化 由三角函数的定义，得xytanrysinrxcos1.P（,1）2.P(-3,-4)31 解：由x ，1 得 由三角函数的定义，得 32 解：x=-3,y=-4 由三角函数的定义，得22(3)(4)5r 2)3(122r已知角的终边经过点P，求它的三个三角函数
8、值。21sin ry54sin ry23cos rx53cos rx33tan xy34tan xy相关练习xytanrysinrxcos1.任意角三角函数的定义：2.任意角的三角函数的应用 本节课主要从初中学习的锐角三角函数为基础，推广到任意角的三角函数，通过定义来解决一种题型知道角的终边上任意一点求三角函数值，并学习三角函数的定义域为以后解决三角函数的性质奠定了基础。已知角的终边上任意一点P（x，y）（非坐标原点）,则 cosxsinyxytan已知角的终边与单位圆的交点P（x，y）,则 课堂小结随堂演练3.已知角的终边过点（4，-3），则（）cos1.角 的终边与单位圆的交点坐标为.32.已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=)56251(，cossin)2321(，A 4.已知角 的终过点P，且，P点坐标为.62OP)13(，562A.45B.-45C.35D.-35end 1.角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos=.2.已知角的终边在直线y=x上,则sin=.1.课后题3，4.2.导学案相关题目。教授人：黄如杰 日期：2022.12.19 感谢聆听
