1、北京市西城区2015年高三一模试卷 数 学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，若，则实数的范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，且，即且，从而，选B.考点：集合的运算.2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】C【解析】试题分析：由得，对应点为，位于第三象限，选C.考点：复数运算3.关于函数和，下列说法中正确的是（ ）（A）都是奇函数 （B）都是偶函数 （C）函数的
2、值域为 （D）函数的值域为【答案】C【解析】试题分析：的定义域为，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；的定义域为，且，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为_.（A） （B） （C） （D）x=3x开始 n=n+1 输出n结束否是输入x【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图5.设分别为直线和圆上的点，则的最小值为（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】试题分析：设圆心为，直线，则，所以选A
3、.考点：直线与圆位置关系6.设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数为增函数，则，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，所以选B.考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A） （B） （C） （D）侧(左)视图正(主)视图俯视图2111221111【答案】D【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大
4、于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A）2枝玫瑰的价格高 （B）3枝康乃馨的价格高 （C）价格相同 （D）不确定【答案】A【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则 ，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量满足，那么 _.【答案】【解析】试题分析：考点：向量运算10.函数的最小正周期是_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以其最小正周期是考点：三角函数周期11.在区间上随机取一个实数x，则x使不等式成立的概率为
5、_.【答案】【解析】试题分析：，又，所以，因为测度为长度，所以所求概率为考点：几何概型概率12.已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线 C的离心率为，那么双曲线C的方程为_；渐近线方程是_.【答案】,【解析】试题分析：抛物线的焦点为，所以，又双曲线 C的离心率为，所以，因此双曲线C的方程为，渐近线方程是，即考点：双曲线方程及渐近线13.设函数 则_；函数的极小值是_.【答案】,【解析】试题分析：，当时，由得，（负值舍去），因此当时，；当时，；从而函数在取极小值为2；当时，因此当时，单调递减；当时，单调递增；从而函数在取极大值为4； 从而函数的极小值是2考点：分段函数求值，函数极值14
6、.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表： 奖品 收费(元件)工厂一等奖奖品 二等奖奖品甲500 400乙800 600则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.【答案】【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和
7、取最小值：考点：线性规划求最值三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分） 如图，在中，点在线段上，且.A（）求的长；（）求的值.DB C 【答案】（）（）【解析】试题分析：（）在直角三角形中，易得，从而有，在中，由余弦定理，可得，即（）在中，由正弦定理，得，所以 .试题解析：（）解：因为 ，所以， 3分又因为，所以，. 4分在中，由余弦定理，得 7分 ，所以 . 9分（）在中，由正弦定理，得，所以 ， 12分所以 . 13分考点：正余弦定理16.（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，且满足，（）求数列的通项公式及；（）若（
8、）成等比数列，求的最小值【答案】（）,（）6【解析】试题分析：（）求等差数列的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为，则可得方程组解得，所以，（）因为成等比数列，可得等量关系，可看做二次函数，根据对称轴及正整数限制条件可得当时，有最小值6试题解析：（）解：设公差为， 由题意，得 4分 解得， 5分 所以， 6分 7分（）解：因为成等比数列， 所以， 9分 即， 10分 化简，得， 11分 考察函数，知在上单调递增， 又因为， 所以当时，有最小值6 13分考点：等差数列的通项及和项17.（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，且,，点G是EF的中点.（）证明：；（）若点
9、在线段上，且，求证：/平面；（）已知空间中有一点O到五点的距离相等，请指出点的位置. (只需写出结论)FC A DB G E 【答案】（）详见解析（）详见解析（）点为线段的中点.【解析】试题分析：（）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：平面，再由线面垂直性质定理可得.注意写全定理条件（）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点作/，且交于点，从而可推出/，.即四边形是平行四边形. 所以 .（）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点为的中点. 试题解析：（）证明：因为，点G是EF的中点， 所以 . 1分 又因为 ， 所以 . 2分 因为平面平面，且平
10、面平面， 平面， 所以 平面. 4分 因为 平面， 所以 . 5分（）证明：如图，过点作/，且交于点，连结， 因为 ，所以， 6分 因为 ，点G是EF的中点， 所以 ，FC A DB G E M N 又因为 ，四边形ABCD为正方形， 所以 /，. 所以四边形是平行四边形. 所以 . 8分 又因为平面，平面， 所以 /平面. 11分（）解：点为线段的中点. 14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加
11、1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）. 已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示O票价(元)345104050人数302060（）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这1
12、20人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围(只需写出结论)【答案】（）（）（）【解析】试题分析：（）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为，（人），所以票价小于5元的有（人）从而根据古典概型概率计算得（）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出
13、其概率（）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于，所以试题解析：（）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， 1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为，（人）.所以票价小于5元的有（人） 2分故120人中票价小于5元的频率是 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率 4分（）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， 5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为， 则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.
14、 6分记票价为3元的同学为，票价为4元的同学为，票价为5元的同学为，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：， , . 8分 其中事件的结果有4种，它们是： . 9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为. 10分（）解： 13分考点：古典概型概率，分层抽样19.（本小题满分14分）设点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值. 【答案】（）（）【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：及点在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 . （）由题意得需根据直
15、线斜率表示三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得，从而，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（）解：设，由题意，得， 所以 ，. 2分 则椭圆方程为 ， 又点在椭圆上， 所以 ，解得， 故椭圆方程为 . 5分（）解：由题意，直线的斜率存在，右焦点， 6分 设直线的方程为，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 7分 由 消去， 得 . 8分 由题意，可知，则有 ， 9分 所以直线的斜率，直线的斜率， 10分 所以 . 12分 即 ， 所以当时，三条边所在直线的斜率的乘积有最大值. 14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系20.（本小题满分13分） 设，函数，函数，.
16、 （）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；（）若当时，对任意的， 都有成立，求实数的取值范围；（）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值. (只需写出结论)【答案】（）不是单调函数（）（）【解析】试题分析：（）根据导数研究函数单调性，先求导数：，再求导函数零点，列表分析得函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减.即函数在区间上不是单调函数. （）先转化条件为：当时，因此求实数的取值范围，就是分别求，这可利用导数求函数最值（）由题意得：直线为曲线与曲线分割线，由（）得，因此的所有可能取值为试题解析：（）解：结论：函数在区间上不是单调函数. 1分 求导，得 ， 2分 令 ，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减. 所以函数在区间上不是单调函数. 4分（）解：当时，函数，.由题意，若对任意的， 都有恒成立， 只需当时，. 5分 因为 . 令，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以. 7分 又因为. 令 ，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以. 9分 综上所述，得. 10分（）解：满足条件的的取值集合为. 13分考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值
