1、四直角三角形的射影定理课时过关能力提升基础巩固1如图,在矩形ABCD中,若AB=4,BC=6,则线段AC在AB上的射影长等于()A.4B.6C.2D.213解析BCAB,AC在AB上的射影是AB.答案A2如图,在ABC中,ABAC,ADBC于点D,若BDDC=16,则AD等于()A.2B.4C.16D.不确定解析由题意知,AD2=BDDC=16,故AD=4.答案B3在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,如图,若NQ=3,则MN等于()A.3PNB.13PNC.3PND.9PN解析MNMP,MQPN,MN2=NQPN.又NQ=3,MN=NQPN=3PN.答案C4在RtABC中,BAC=90,
2、ADBC于点D,若ACAB=34,则BDCD等于()A.34B.43C.169D.916解析如图,由射影定理,得AC2=CDBC,AB2=BDBC,AC2AB2=CDBD=342,即CDBD=916,BDCD=169.答案C5如图,已知在RtABP中,ABP=90,BCAP,垂足为点C,且AB=26,AC=4,则PB=.解析在RtABP中,ABP=90,BCAP,AB2=ACAP,即(26)2=4AP,解得AP=6.在RtABP中,由勾股定理,得BP=AP2-AB2=62-(26)2=23.答案236已知PA是O的切线,切点为A,PA=2 cm,AC是O的直径,PC交O于点B,AB=3 cm,
3、则ABC的面积为 cm2.解析如图,由于PA是O的切线,AC是O的直径,则PAAC,ABBC,则PB=PA2-AB2=1 cm.又AB2=PBBC,所以(3)2=1BC,所以BC=3 cm.所以ABC的面积为12ABBC=1233=332(cm2).答案3327如图,在矩形ABCD中,DEAC于点E,若AE=1,EC=8,则矩形ABCD的面积S=.解析在RtADC中,ADC=90,DEAC,DE2=AEEC=18=8,解得DE=22.AC=AE+EC=1+8=9.矩形ABCD的面积S=2SADC=212922=182.答案1828如图,已知AD是ABC的高,DPAB,DQAC,垂足分别为点P,
4、Q.求证:APAB=AQAC.分析应用射影定理转化为证明APAB=AD2,AQAC=AD2.证明DPAB,DQAC,ADBC,在RtADB中,有AD2=APAB.在RtADC中,有AD2=AQAC.APAB=AQAC.9如图,已知RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,DEAC于点E,DFBC于点F.求证:AEBFAB=CD3.分析分别在RtABC,RtADC,RtBDC中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.证明因为在RtABC中,ACB=90,CDAB,所以CD2=ADBD,所以CD4=AD2BD2.又因为在RtADC中,DEAC,在RtBDC中,DFBC,所以AD2
5、=AEAC,BD2=BFBC,所以CD4=AEBFACBC.又因为A=A,ACB=ADC=90,所以ABCACD.所以BCCD=ABAC,即ACBC=ABCD,所以CD4=AEBFABCD.所以AEBFAB=CD3.10如图,已知线段a,b,求作线段c,使b是a和c的比例中项,并加以证明.作法如图.(1)作线段AB=a,过点B作AB的垂线l,在l上取一点C,使BC=b;(2)连接AC,过点C作AC的垂线l,l交AB的延长线于点D,则线段BD为所求作线段c.证明:ACCD,CBAD,CB2=ABBD.b2=ac,即线段c使得b是a和c的比例中项.能力提升1已知在RtABC中,CD是斜边AB上的高
6、,若AD=p,BD=q,则tan A的值是()A.pqB.pqqC.pqpD.pq解析由射影定理得CD2=ADBD=pq,CD=pq.tan A=CDAD=pqp.答案C2如图,在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,若MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1B.3C.9D.27解析MN2=NQNP,32=9NQ.NQ=1.答案A3如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,若AD=3,BD=2,则ACBC的值是()A.32B.94C.32D.23解析在RtABC中,ACB=90,CDAB,由射影定理知,AC2=ADAB,BC2=BDAB.又AD=3,BD=2,AB=AD+BD=5,AC
7、2=35=15,BC2=25=10.ACBC=1510=32,即ACBC=32.答案C4在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,若AD=4,sinACD=45,则CD=,BC=.解析在RtADC中,AD=4,sinACD=45,由sinACD=ADAC,得AC=ADsinACD=445=5,由射影定理知,AC2=ADAB,即AB=AC2AD=254.BD=AB-AD=254-4=94.由射影定理知,CD2=ADBD=494=9,CD=3.由射影定理知,BC2=BDAB,BC=BDAB=94254=154.答案31545在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,若CD=6,AB=5,则
8、AD=.解析ACB=90,CDAB,CD2=ADDB.CD=6,ADDB=6.又AB=5,DB=5-AD.AD(5-AD)=6,解得AD=2或3.答案2或36如图,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=14AD,N是AB的中点,NFCE于点F.求证:FN2=EFFC.证明如图,连接NE,NC.设正方形的边长为a.AE=14a,AN=12a,NE=a216+a24=5a4.BN=12a,BC=a,NC=a24+a2=5a2.DE=34a,DC=a,EC=9a216+a2=5a4.NE2=5a216,NC2=5a24,EC2=25a216.NE2+NC2=25a216.NE2+NC2=E
9、C2.ENNC,ENC是直角三角形.又NFEC,NF2=EFFC.7如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且BHHC=CMMD=12,AH和BM相交于点P.求证:AP=9PH.证明在正方形ABCD中,BHHC=CMMD=12,BHBC=CMCD=13,BHAB=CMBC=13.又ABH=C=90,ABHBCM,PBH=BAH.又BAH+BHA=90,PBH+BHP=90,即BPAH.在RtABH中,设BH=k,则AB=3k,AH=10k.AB2=APAH,BH2=PHAH.AB2BH2=APAHPHAH=APPH=(3k)2k2.AP=9PH.8如图,在ABC中,D,F两点分别在AC,BC上,且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1.求AC的长.解在ABC中,设AC=x,ABAC,AFBC,又FC=1,根据射影定理,得AC2=FCBC,即BC=x2.再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-FC)FC,即AF2=x2-1.AF=x2-1.在BDC中,过点D作DEBC于点E,如图,又BD=DC=1,BE=EC,又AFBC,DEAF,DEAF=DCAC.DE=DCAFAC=x2-1x.在RtDEC中,DE2+EC2=DC2,即x2-1x2+x222=12,x2-1x2+x44=1.整理得x6=4.x=32.AC=32.
