1、广东省深圳市四校 2019-2020 学年高二数学下学期期中联考试题（含解析）试卷分值：150 分考试时间：120 分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法和指
2、数函数的值域，化简集合 M，N，再利用并集的概念求解.【详解】因为 所以，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，指数函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数 满足，则复数 的虚部是（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据复数模及代数形式的运算法则，求出复数，即可得出结论.【详解】由于，则，所以复数 的的虚部是-1，故选：B【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及复数的概念，属于基础题.3.已知单位向量满足，若，则实数 的值为（）A.B.-2 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由垂直得数量积为 0，列方程求解即可【详解】因为
3、，所以，即，解得，故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查垂直关系的表示，是基础题 4.已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得，所以，故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.5.下列命题中，真命题是（）A.；B.命题“”的否定是“”；C.“”是“”的充分不必要条件；D.函数在区间内有且仅有两个零点.【答案】C【解析】【分析】由特值判断 A,C;全称命题的否定判断 B;利用导数判断函数单调性判断 D【详解】对 A,当故错误
4、；对 B,命题“”的否定是“”；故错误 对 C,则；反之当，满足，但，故“”是“”的充分不必要条件；正确；对 D,对,单调递增,在有一个零点,故无零点,故函数在区间内有且仅有一个零点 故选：C【点睛】此题注重对基础知识的考查，特称命题与全称命题的真假及否定，考查函数零点，是学生易错点，属中档题 6.已知正项等比数列an，若向量，则（）A.12 B.C.5 D.18【答案】D【解析】【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.【详解】由题意，向量，则，即，根据等比中项的知识，可得，故，故选：D.【点睛】本题主
5、要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.7.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，解得，则的最大值是 故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数
6、对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比 95.80%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（）A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利
7、润占比将会降低【答案】B【解析】【分析】根据表格提供数据，逐项分析，即可得出结论.【详解】选项 A，该公司 2018 年度冰箱类电器利润率占比为负值，因此冰箱类销售亏损，所以 A 项正确；选项 B，该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以 B 项错误；选项 C，该公司 2018 年度空调类净利润占比比其它类占比大多，因此 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以 C 项正确；选项 D，剔除冰箱类销售数据后，该公司 2018 年度总净利润变大，而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项 D 正确.故选：B.【点睛】本题考
8、查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题 9.中，点 D 在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A.B.C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得 x，y 的关系，再利用基本不等式解出最小值即可【详 解】，且三 点 共 线，所 以且，则，当且仅当时，即取等号，故有最小值，故选：B.【点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，属于基础题 10.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，点 为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则 的离心率为（）A.2 B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由于直线的斜率为，所以此直线的倾斜角为，即，再由，得，从而得为直角三角
9、形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得的关系，从而可求出离心率.【详解】由题意，直线过左焦点且倾斜角为，即.，根据双曲线定义有，离心率.故选：B【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中.九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、
10、“鳖臑”的过程.已知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为 1，则鳖臑的体积最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得 a1，且截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为 r，则 2r1由直角三角形内切圆半径公式结合基本不等式可得 bc 的最小值，则鳖臑的体积最小值可求【详解】设内切圆半径为 r，依题意内切球直径 2r=1，则，当且仅当 b=c 时取等号.或 鳖臑的体积为 当且仅当 b=c 时，鳖臑的体积最小为，故选：A【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用基本不等式求最值，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 12.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，
11、且满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意构造函数函数 g（x）x2f（x），求导可知函数是区间（0，+）上的增函数，把原不等式转化为，求得 x 的范围【详解】由题意，设函数，则，因为是定义在区间上的可导函数，且满足，所以，所以函数在上为增函数，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，是中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上.13.的二项展开式中的常数项为_.(用数字作答)【答案】160【解析】【分析】先求出，再令求出 即得解.【
12、详解】由题得，令.所以二项展开式的常数项为.故答案为：160.【点睛】本题主要考查二项展开式的指定项的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.已知角终边与单位圆交于点()，则=_.【答案】【解析】【分析】由角的终边与单位圆交于点()，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角的正弦公式求得，然后由诱导公式由求解.【详解】因为角的终边与单位圆交于点()，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.A、B、C、D 四位同学站成一排照相，则 A、B 中至少有一人站在两端的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求得
13、四名同学站成一排的排法种数再求得 A、B 至少有一人站在两端的排法种数，由此能求出 A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率【详解】A、B、C、D 四位同学站成一排照相，基本事件总数，A、B 中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故 A、B 两人中至少有一人站在两端的概率.故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查分步计数原理的基础知识，考查运算求解能力，是基础题 16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy
14、中，A(-2，1)，B(-2，4)，点 P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点 Q 为抛物线 E：y2=4x 上的动点，Q 在直线 x=-1 上的射影为 H，则的最小值为_.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用直译法直接求出 P 点的轨迹（2）先利用阿氏圆的定义将转化为 P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值【详解】设 P（x，y），由阿氏圆的定义可得 即化简得 则 设则由抛物线的定义可得 当且仅当四点共线时取等号，的最小值为 故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用还考查了学生利用转化思想、方程思想等
15、思想方法解题的能力难度较大 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）在中，内角，所对的边分别为，且满足，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算和三角恒等变换，即可化简，进而可求出的最小正周期(2)利用，求出 的范围，然后利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）向量，则.T=（2），在ABC 中，由余弦定理可得：，即.当且仅当时等号成立，所以，故ABC 面积的最大值为.【点睛】本题考查三角恒等变换的化简、余弦定理以及基本不等式的运用，属于中档题.18.已知数列的前 项和为，数列是
16、首项为 1，公差为 1 的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前 项和为 Tn，求 T2020.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算，利用公式计算验证得到答案.（2），利用裂项相消法计算得到答案.【详解】（1）因为数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以，所以，当时，；当时，当时，也符合上式.所以数列的通项公式.（2），所以数列的前 项和，故.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在四面体中，.（）证明：；（）若，四面体的体积为 2，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】【详解
17、】（1）因为，所以 RtRt可得 设中点为，连结，则，所以平面，于是 （2）在 Rt中，因为，所以面积为设 到平面距离为，因为四面体的体积，所以 在平面内过 作，垂足为，因为，所以由点到平面距离定义知平面 因为，所以因为，所以，所以，即二面角余弦值为 20.2020 年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施.如测量体温、有效隔离等.（1）现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集 100 个样本.据分析，人群体温近似服从正态分布.若 表示所采集 100 个样本的数值在之外的的个数，求及 X 的数学期望.（2）疫情期间，武汉大
18、学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对 138 例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊 JAMA美国医学会杂志研究论文中获得相关数据.请将下列 22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？附：若，则，.参考公式与临界值表：，其中.0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）；（2）填表见解析；能在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下认为“重症患者
19、与并发症有关”【解析】【分析】(1)利用正态分布以及二项分布的概率公式和数学期望公式即可求解.(2)利用独立性检验的公式直接求解即可.【详解】（1）由已知体温落在之内的概率为，落在之外的概率为.（2）填表如下：.无并发症 并发症 合计 非重症 64 38 102 重症 10 26 36 合计 74 64 138 .而 P(K210.828)=0.001，故由独立性检验的意义可知：能在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”.【点睛】本题考查正态分布、二项分布以及独立性检验，属于基础题.21.已知椭圆的左右顶点为 A，B，点 P，Q 为椭圆上异于 A，B 的两点，直线 A
20、P、BP、BQ 的斜率分别记为.（1）求的值；（2）若，求证：，并判断直线 PQ 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）证明见解析；直线 PQ 是过定点，该定点为【解析】【分析】（1）设，根 据，然 后 由 点在 椭 圆 上，由求解.（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据，结合（1），得到，将韦达定理代入得到 k，b 的关系，再代入直线方程求解即可.【详解】（1）设，则，又，则，代入上式，得.（2），又由（1）知，即 设直线的方程为：，设，联立，得：，由0 得：，由韦达定理：，.，则，即：，所以：，解得：或，.当时，直线，则直线过 B（2，0），不合题意，
21、当时，直线，则直线过定点，直线 PQ 是过定点，该定点为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率关系以及直线过定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数 的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.求实数 的取值范围；求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由函数导数求得切线斜率，利用两直线垂直斜率乘积-1 列方程求解即可；（2）函数在定义域上有两个极值点等价于在上有两个不相等的根.解不等式组即得解；先化简得到，再构造，其中.再利用导数证明，即得证.【详解】（1）依题意，故，所以，据题意可知，解得.所以实数 的值为 2.（2）因为函数在定义域上有两个极值点，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根.所以解得.当时，若或，函数在和上单调递增；若，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且，.所以，实数 的取值范围是.由可知，是方程的两个不等的实根，所以其中.故 ，令，其中.故，令，在上单调递增.由于，所以存在常数，使得，即，且当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，又，所以，即，故得证.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
