1、课时作业(二十三)1设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C. D2答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2(x0)，S(x34V)令S0，得唯一极值点x.2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 B8C10 D12答案B3用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为()A. B.C. D.答案D解析设长方形一边为x.则另一边为.Sxx2x.S2x. 令S0得x.S最大.4一周长为l的扇形，当面积达到最大值
2、时，扇形的半径的()A. B.C. D.答案C解析设半径为r，则弧长为l2r.S扇弧长半径(l2r)rr2r.令S扇2r0，得r.5以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A10 B15C25 D50答案C6已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上f(x)3恒成立，那么在2，2上，f(x)min()A37 B5C37 D5答案A解析f(x)6x212x6x(x2)，当x2，0时f(x)0，当x0，2时f(x)0.f(x)minf(0)m，m3.又f(2)40m，f(2)8m，f(x)minf(2)40m37.7海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比
3、，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()A30海里/时 B25海里/时C20海里/时 D10海里/时答案C8如果函数f(x)x3a2x满足：对于任意的x1、x20，1，都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，那么实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析方法一：(赋值法)令a0，可知选A项方法二：对于任意的x1，x20，1都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，只需f(x)maxf(x)min1即可f(x)x2a2(
4、xa)(xa)，当|a|1时，f(x)0，函数f(x)x3a2x在0，1上单调递减；当|a|0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析由yx239x400，得x1或x40.由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值12如图，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB_km处时，动力线最短答案解析设CDAB，垂足为E，DE的长为x km.由AB0.6，ACBC0.5，得AEEB0.3.CE0.4.CD0.4x，ADBD.动力线总长lADBDCD20.4x.令l210，即2x0.解得
5、x(x0)当x时，l0；当x时，l0.l在x时有最小值13某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解析设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)f(x)48.令f(x)0，得x15.当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0.因此，当x15时，f(x)取最小值f(15)2 0
6、00(元)答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层14为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解析(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C
7、(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x15或x2(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元15甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度
8、v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解析(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为yabv2s，所求函数及其定义域为ys，v(0，c(2)由题意s，a，b，v均为正数ys0得v.但v(0，c若c，则当v时，全程运输成本y最小；若c，则v(0，c，此时yc时，行驶速度vc.16请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角
9、三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值思路用x表示包装盒的高度与底面边长，则(1)包装盒的面积S是关于x的二次函数，可通过配方求最值；(2)包装盒的容积V是关于x的三次函数，可通过导数求最大值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.1(2019课标全国，文)曲线y2sinxcos
10、x在点(，1)处的切线方程为()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10答案C解析依题意得y2cosxsinx，y|x(2cosxsinx)|x2cossin2，因此所求的切线方程为y12(x)，即2xy210.故选C.2(2018课标全国)函数f(x)的图象大致为()答案B解析函数f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x1时，f(1)e0，排除D.当x时，f(x)，排除C.故选B.3(2017浙江)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，一负二正，且每个零点的两边
11、导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C.故选D.4(2015陕西)设f(x)xsinx，则f(x)()A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数答案B解析易得f(x)是奇函数，由f(x)1cosx0恒成立，可知f(x)是增函数故选B.5(2016课标全国)若函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1，1 B.C. D.答案C解析函数f(x)xsin2xasin
12、x在(，)单调递增，等价于f(x)1cos2xacosxcos2xacosx0在(，)恒成立设cosxt，则g(t)t2at0在1，1恒成立，所以解得a.故选C.6(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)答案A解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)故选A.7(2017天津，文)已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点
13、(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_答案1解析因为f(x)a，所以f(1)a1，又f(1)a，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，令x0，得y1.8(2018课标全国)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_答案y2x解析y2ln(x1)，y.当x0时，y2，曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.9(2018课标全国，文)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解析(1)当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0，解得x32或x32.当x(，3
14、2)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a60，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点10(2017北京)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，又因为f(0)1，f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的
15、切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x时，h(x)0，则由f(x)0得xlna.当x(，lna)时，f(x)0.故f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)a2lna.从而当且仅当a2lna0，即当0a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值
16、为fa2.从而当且仅当a20，即当a2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，112(2018课标全国，文)已知函数f(x)aexlnx1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解析(1)函数f(x)aexlnx1，x0，f(x)aex，x2是f(x)的极值点，f(2)ae20，解得a，f(x)exlnx1，f(x)ex，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)lnx1，设g(x)lnx1，则g(x)，当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0，当a时，f(x)0.
