1、第二章 点、直线、平面 之间的位置关系 21 空间点、直线、平面之间的位置关系21 1 平 面登高揽胜 拓界展怀课前自主学习1了解平面的概念及表示方法2理解平面的公理1、公理2、公理3.3会用符号语言准确表述几何对象的位置关系学 习 目 标自主导学预习课本 P40P43，思考并完成以下问题知识点一|平面的概念 1几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是 1 _的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个 2 _，它的锐角通常画成 3 _，且横边长等于其邻边长的 4 _，如图.无限延展平行四边形452倍(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强
2、它的立体感，把被遮挡部分用 5 _画出来，如图.虚线3平面的表示法图的平面可表示为 6 _，平面 ABCD，7 _或平面 BD.平面 平面AC思考探究|辨别正误|1几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？提示 没有平行四边形2一个平面把空间分成了几部分？提示 两部分知识点二|点、线、面之间的关系 1直线在平面内的概念如果直线 l 上的 8 _都在平面 内，就说直线 l 在平面 内，或者说平面 经过直线 l.所有点2一些文字语言与数学符号的对应关系文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点 A 在直线 l 上9 _ 点 A 在直线 l 外10 _AlAl点 A 在平面 内11 _
3、点 A 在平面 外12 _直线 l 在平面 内13 _ 直线 l 在平面 外14 _直线 l，m 相交于点 A lmA平面、相交于直线 llAAll小试身手1如图所示，用符号语言可表述为()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An答案：A2用符号语言表示语句“点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内”，并画出图形解：A，B，图形如图所示知识点三|平面的基本性质及作用 公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的 15 _在 一 个 平 面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，B16 _既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的两点l公理2过不在一
4、条直线上的三点，17 _一个平面A，B，C 三点不共线存在唯一的平面，使 A，B，C一 是 确 定 平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据有且只有公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 18 _ _P，且 Pl，且Pl一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据过该点的公共直线思考探究|辨别正误|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)三点可确定平面的个数是 1.()(2)两个平面若有三个公共点，则这两个平面相交或重合()(3)如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面()2(1)两个平面的交线可能是一条
5、线段吗？(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示(1)不可能由公理 3 知，两个平面的交线是一条直线(2)不一定只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 三种语言间的相互转化【例 1】用符号语言表示下列语句，并画出图形(1)三个平面，相交于一点 P，且平面 与平面 相交于 PA，平面 与平面 相交于 PB，平面 与平面 相交于PC；(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC相交于 AC.解(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图.(2)符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面 ADCA
6、C，图形表示如图.1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.|方法总结|1若点 M 在直线 a 上，a 在平面 内，则 M，a，间的关系可记为()AMa，a BMa，aCMa，aDMa，a解析：选 B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知 B 正确2根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内
7、，如图.(2)直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A不在直线 l 上，如图.(3)直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q，如图.题型二 平面的基本性质的应用 考向 1 点线共面问题【例 2】如图，已知直线 abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c，l共面证明 ab，a，b 确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b，c 确定一个平面.同理可证 l.于是 b，l，b，l，即 b，l.又b 与 l 不重合，与 重合，a，b，c，l 共面考向 2 点共线问题【例 3】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设线段 A1C 与平面
8、ABC1D1 交于点 Q，求证：B，Q，D1 三点共线证明 如图，连接 A1B，CD1，显然 B平面 A1BCD1，D1平面 A1BCD1.BD1平面 A1BCD1.同理 BD1平面 ABC1D1.平面 ABC1D1平面 A1BCD1BD1.A1C平面 ABC1D1Q，Q平面 ABC1D1.又A1C平面 A1BCD1，Q平面 A1BCD1.Q 在平面 A1BCD1 与 ABC1D1 的交线上，即 QBD1，B，Q，D1 三点共线考向 3 三线共点问题【例 4】已知平面，两两相交于三条直线 l1，l2，l3，且 l1，l2 不平行求证：l1，l2，l3 相交于一点证明 如图，l1，l2，l3.l
9、1，l2，且 l1，l2 不平行，l1 与 l2 必相交设 l1l2P，则 Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3 相交于一点 P.点共线与线共点的证明方法(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.|方法总结|3下列说法正确的是()任意三
10、点确定一个平面 圆上的三点确定一个平面 任意四点确定一个平面 两条平行线确定一个平面A BCD解析：选 C 不在同一条直线上的三点确定一个平面圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，不正确，正确当四点在一条直线上时不能确定一个平面，不正确根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故正确4已知直线 ab，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a，b，l 有且只有一个平面证明：如图所示由已知 ab，所以过 a，b 有且只有一个平面.设 alA，blB，A，B，且 Al，Bl，l.即过 a，b，l 有且只有一个平面5已知ABC 在平面 外，其三边所在的直线满足 ABP，BCQ，ACR
11、，如图所示求证：P，Q，R 三点共线证明：证法一：ABP，PAB，P平面.又 AB平面 ABC，P平面 ABC.由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 的交线上P，Q，R 三点共线证法二：APARA，直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.又ABP，ACR，平面 APR平面 PR.B平面 APR，C平面 APR，BC平面 APR.QBC，Q平面 APR，又 Q，QPR，P，Q，R 三点共线6如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点
12、 Q，求证：D，A，Q 三点共线证明：MNEFQ，Q直线 MN，Q直线 EF，又M直线 CD，N直线 AB，CD平面 ABCD，AB平面 ABCD.M，N平面 ABCD，MN平面 ABCD.Q平面 ABCD.同理，可得 EF平面 ADD1A1.Q平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1AD，Q直线 AD，即 D，A，Q 三点共线知识归纳 自我测评堂内归纳提升规律方法1三种语言：解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在
13、转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2三类题型：在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想自测检评1在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A黑板面 B乒乓球桌面C篮球的表面D平静的水面解析：选 C 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分2点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()APlBPlCPlDPl解析：选 D 点与线之间是元素与集合的关系，用表示；线与面之间是集合与集合的关系
14、，用表示3若一直线 a 在平面 内，则正确的作图是()解析：选 A B 中直线 a 不应超出平面；C 中直线 a 不在平面 内；D 中直线 a 与平面 相交4下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()解析：选 D A 中没有画出平面 与平面 的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故 A 不正确；B，C 中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故 B，C 都不正确5(1)空间任意 4 点，没有任何 3 点共线，它们最多可以确定_个平面(2)空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确定_个平面解析：(1)可以想象三棱锥的 4 个顶点，它们总共确定 4 个平面(2)可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面答案：(1)4(2)7word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块
