1、专题三高考易错点分类例析最后的查缺补漏集合、逻辑用语、函数与导数易错点1遗忘空集致误例1已知AxR|x4，BxR|2axa3，若ABA，则实数a的取值范围是_错解由ABA知，BA，解得a4或2a3.实数a的取值范围是a4或2a3.错因分析由并集定义容易知道，对于任何一个集合A，都有AA，所以错解忽视了B时的情况正解由ABA知，BA.当B时，有，解得a4或2a3，解得a3.综上可知，实数a的取值范围是a2.易错突破造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现AB，ABA，ABB时，注意对A进行分类讨论，即分为A和A两种情况讨论补偿练习1(1)已知集合A，Bx|mx1
2、0，若ABB，则所有实数m组成的集合是()A0，1,2 B.C1,2 D.答案A解析当m0时，B，符合题意；当m0时，B，若BA，则，m1或m2.故m0，或m1，或m2.(2)已知集合Ax|x2(p2)x10，pR，若AR*，则实数p的取值范围为_答案(4，)解析由于AR*，先求AR*的情况有即解得p4.故当AR*时，p的取值范围是(4，)易错点2忽视元素互异性致误例2已知集合A1，x,2，B1，x2，若ABA，则x的不同取值有_种情况()A1 B2 C3 D4错解由x22，解得x1，x2.由x2x，解得x30，x41. 选D.错因分析当x1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中
3、元素的互异性，导致错误正解ABA，BA.x22或x2x.由x22，解得x，由x2x，解得x0或x1.当x1时，x21，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或或0，共3种情况，选C.易错突破由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证补偿练习2若A1,3，x，Bx2,1，且AB1,3，x，则这样的x为_答案或0解析由已知得BA，x2A且x21.x23，得x，都符合x2x，得x0或x1，而x1，x0.综合，共有3个值易错点3忽视区间的端点致误例3记f(x) 的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax) (a1)的定义域为B.若BA，则实数a的取值范围是_错
4、解由20，得x0得(xa1)(x2a)0.且a1，2ax1或a1或a2.a(，2)错因分析从BA求字母a的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错正解20，得0，x0，得(xa1)(x2a)0.a2a，B(2a，a1)BA，2a1或a11，即a或a2，而a1，a1或a2.故所求实数a的取值范围是(，2.补偿练习3设Ax|1xa，若AB，则a的取值范围是_答案(，1解析因为AB且AB，利用数轴可知：a1.易错点4对命题否定不当致误例4命题“若x，y都是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是()A若x，y都是偶数，则xy是奇数B若x，y都不是奇数，则xy不是偶数C若xy不是偶数，则x，y都不是奇数D若xy
5、不是偶数，则x，y不都是奇数错解C错因分析“x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.正解“都是”的否定是“不都是”，答案选D.易错突破对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定补偿练习4已知集合Mx|0，若2D/M，则实数a的取值范围是_答案a解析若2M，则0，即(2a1)(2a21)0，a，当2D/M时，a的取值范围为a.易错点5充分条件、必要条件颠倒致误例5若p：aR，|a|1，q：关于x的二次方程x2(
6、a1)xa20的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件错解B错因分析由pq应得p是q的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件正解将两条件化简可得p：1a1，q：a0.正解由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，ylog (x25x6)的单调递增区间为(，2)易错突破在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则补偿练习6若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A(，) B(1，)C
7、(， D1，)答案D解析由题意，知函数的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，解得x.所以函数f(x)在(0，上单调递减，在，)上单调递增故有解得1k.易错点7忽视二次项系数为0致误例7函数f(x)(k1)x22(k1)x1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是_错解由题意知4(k1)24(k1)0.即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0错因分析未考虑k10的情况而直接令0求解导致失解正解当k1时，f(x)4x1，其图象与x轴只有一个交点.当k1时，由题意得4(k1)24(k1)0，即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0,1易错突破对多项式函数或方程、不
8、等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况补偿练习7函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()A(，1 B(，01C(，0)1 D(，1)答案B解析当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0.故选B.易错点8分段函数意义不明致误例8已知：xN*，f(x)，求f(3)错解f(x)，f(x2)(x2)5x3，故f(x)，f(3)330.错因分析没有理解分段函数的意义，f(x)x5在x6的前提下
9、才成立，f(3)应代入x6化为f(5)，进而化成f(7)正解f(x)，f(3)f(32)f(5)f(52)f(7)752.补偿练习8定义在R上的函数f(x)满足f(x)，则f(2 013)的值为()A1 B0 C1 D2答案B解析f(2 013)f(2 012)f(2 011)f(2 011)f(2 010)f(2 011)f(2 010)f(2 007)f(3)f(0)0.易错点9函数单调性考虑不周致误例9函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_错解(，1)(1，)错因分析忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小正解若函数在R上单调递减，则有解之得a；若函数在R上单调递增，则有解得1a，
10、故a的取值范围是(，(1，易错突破分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小补偿练习9已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f|2x1|x.易错点10混淆“过点”与“切点”致误例10求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程错解y3x22，ky|x131221，切线方程为：y1x1，即xy20.错因分析混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，1)当做切点正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率
11、为y|xx03x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20或5x4y10.易错突破过曲线上的点(1，1)的切线与曲线的切点可能是(1，1)，也可能不是(1，1)本题错误的根本原因就是把(1，1)当成了切点解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明
12、切线过这个点，这个点不一定是切点补偿练习10已知曲线S：yx3x24x及点P(0,0)，则过点P的曲线S的切线方程为_答案y4x或yx解析设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点P的曲线S的切线斜率y|xx02x2x04，又kPQ，所以2x2x04，点Q在曲线S上，y0xx4x0，将代入得2x2x04xx04，化简得xx00，所以x00或x0，若x00，则y00，k4，过点P的切线方程为y4x；若x0，则y0，k，过点P的切线方程为yx.所以过点P的曲线S的切线方程为y4x或yx.易错点11函数极值点概念不清致误例11已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.错
13、解7或0错因分析忽视了条件的等价性，“f(1)0”是“x1为f(x)的极值点”的必要不充分条件正解f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.易错突破对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号，即f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极小值，而不仅是f(x0)0.f(x0)
14、0是x0为极值点的必要而不充分条件对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根补偿练习11已知函数f(x)x3x22ax在点x1处取极值，且函数g(x)x3x2ax在区间(a6,2a3)上是减函数，求实数a的取值范围解f(x)x3bx2(2a)x2a，由f(1)0，得b1a，当b1a时，f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa)，如果a1，那么x1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b1a且a1.g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1)当xa时，g(x)0，g(x)在(，a
15、)上单调递减，(a6,2a3)(，a)，a62a3a，故所求a的范围为3a3.综上可知a的取值范围应为3a3且a1.易错点12导数与函数单调性关系不准致误例12函数f(x)x3ax23x在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_错解(，)错因分析求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间2，)上大于零，忽视了函数的导数在2，)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性正解由题意，知f(x)3x22ax3，令f(x)0(x2)，得a(x)记t(x)(x)，当x2时，t(x)是增函数，所以t(x)min(2)，所以a(，经检验，当a时，函数f(
16、x)在2，)上是增函数补偿练习12已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案，)解析f(x)2mx20在(0，)上恒成立，m，所以mmax，所以m.三角函数与平面向量易错点13忽视角的范围致误例13已知sin ，sin ，且，为锐角，则_.错解、为锐角，cos ，cos .sin()sin cos cos sin .又0.或.错因分析错解中没有注意到sin ，sin 本身对角的范围的限制，造成错解正解因为，为锐角，所以cos ，cos .所以cos()cos cos sin sin ，又因为01)的两根分别为tan ，tan ，且，则tan 的值是_答案2
17、解析因为a1，tan tan 4a0，所以tan 0，tan 0)这个变化的实质是xx，所以平移的距离并不是.补偿练习14将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin BysinCysin Dysin答案C解析将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是ysin.故选C.易错点15解三角形多解、漏解致误例15在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a1，c.(1)若C，求A
18、；(2)若A，求b，c.错解(1)在ABC中，sin A，A或.(2)由得sin C，C，由C知B，b2.错因分析在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin A后，得出角A或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sin C，只得出角C，所以角B，解得b2.这样就出现漏解的错误正解(1)由正弦定理得，即sin A.又ac，AC，0AAC，所以C60或C120.当C60时，A90，于是SABCABACsin A2212.当C120时，A30，于是SABCABACsin A22.故ABC的面积是2或.易错点16向量夹角定义不明致误例16已知
19、等边ABC的边长为1，则_.错解ABC为等边三角形，|1，向量、间的夹角均为60.错因分析数量积的定义ab|a|b|cos ，这里是a与b的夹角，本题中与夹角不是C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图与的夹角应是ACD.正解如图与的夹角应是ACB的补角ACD，即180ACB120.又|1，所以|cos 120.同理得.故.易错突破在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题补偿练习16在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB3，B
20、D1，则_.答案解析方法一在ABD中，由余弦定理得AD23212231cos 607，AD，cosBAD，|cosBAD3.方法二，()2|2|cos 120931.易错点17忽视向量共线致误例17已知a(2,1)，b(，1)，R，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_错解cos .因为锐角，有cos 0，0210，得，的取值范围是.错因分析当向量a，b同向时，0，cos 1满足cos 0，但不是锐角正解为锐角，0cos 1.又cos ，00且a，b不同向；为直角ab0；为钝角ab0且a，b不反向补偿练习17设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为.若向量2te
21、17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)由(2te17e2)(e1te2)0得2t215t70，7t.若2te17e2(e1te2)(0)，(2t)e1(7t)e20.，即t，t的取值范围为7t0.忽略了此隐含条件，就产生了增解200.正解记b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30，b1，b2，b3，b4是以公比为rq100的等比数列b1b2b31010r10r2S3070，r2r60，r2，r3(舍去)，S40b1b2b3b4150.易错突破在等比数
22、列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，Sn中q1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列an的前n项和为Sn，S10，S20S10，S30S20，S40S30的公比为q100.补偿练习19设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q_.答案1或1解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.易错点20数列最值意义不清致误例20已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_错解21错因分析忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意
23、和函数最值的区别正解ann2n33，n1.又f(x)x1(x0)在，)上为增函数，在(0，上为减函数又nN*，f(5)，f(6)，minf(6).易错突破研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决关于正整数n的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值补偿练习20若数列an的前n项和Snn210n(n1,2,3，)，则数列nan中数值最小的项是第_项答案3解析当n1时，a1S19；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.可以统一为an2n11(nN*)故nan2n211n，该关于n的二次函
24、数的对称轴是n，考虑到n为正整数，且对称轴离n3较近，故数列nan中数值最小的项是第3项易错点21数列递推关系转化不当致误例21已知函数f(x)，数列an满足a1，an1f(an)，bn，nN*，求数列bn的通项公式错解f(x)，an1f(an)，an1anan12an0，an(an12)an10.错因分析递推关系转化不当，无法求出bn.正解f(x)，an1f(an)，.1(1)，又bn，1，bn12bn，又b12，bn是以2为首项，以2为公比的等比数列，bn2n.易错突破解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率an1qank形式可
25、用待定系数法：an1q(an)；an1形式可用取倒数法；观察法，如an12(1)2an2.补偿练习21已知数列an满足a1，an1an2an1an，Sn表示数列an前n项和求证：Sn1.证明由a10，易知对于任意的n，an0.an1an2an1an可化为1，12.令bn1，则b12，bn12bn.所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列bn12n，所以an，则Sn10时的情况被忽视正解当x1时，yxx112 121，当且仅当x1，即x1时等号成立；当x1时，yx1x12 121，y12；当且仅当1x，即x1时等号成立原函数的值域为(，1212，)易错突破利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，
26、均需满足“一正，二定，三相等”的条件本例由于忽视了x1的正、负问题，导致结果错误在应用基本不等式时，首先应考虑a，b是否为正值补偿练习22函数f(x)1loga x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中mn0，则的最小值为_答案2解析因为loga 10，所以f(1)1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)，由题意，知点A在直线mxny20上，所以，mn20，即mn2.而()(mn)(2)，因为mn0，所以0，0.由基本不等式，可得2 2(当且仅当mn时等号成立)，所以(2)(22)2，即的最小值为2.易错点23解含参数不等式讨论不当致误例23解关于x的不等式ax2
27、(a1)x10.错解原不等式化为a(x)(x1)1时，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.错因分析解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时，若a1当a0时，不等式化为a(x1)0.当a0，不等式的解集为x|x1或x；当0a1时，1，不等式的解集为x|1x1时，1，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为(1，)；当a0时，不等式的解集为(1，)；当0a1时，不等式的解集为.易错突破解形如ax2bxc0的不等式，应对系数a分a0，a0，a0进行讨论，还要讨论各根的大小，最
28、后根据不同情况分别写出不等式的解集补偿练习23设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围解设f(x)x22axa2，有(2a)24(a2)4(a2a2)当0，即1a0，即a2时，设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，则M1,41x1x24解得2a.综上，可得M1,4时，a的取值范围是.易错点24线性规划问题最值意义不明致误例24设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为D，点P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数zx2y的最小值为_错解错因分析没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最
29、大值，最低点时取到最小值正解易错突破对于线性规划问题中的目标函数zaxby，可以化成yx的形式，是直线的纵截距，当b0时，z的最小值在直线最高时取得补偿练习25已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_答案(3,8)解析画出不等式组表示的可行域(如图)，在可行域内平移直线z2x3y，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，有zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，有zmax21328，故z的取值范围为(3,8)立体几何易错点25三视图识图不准确致误例25已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_错解错因分析没有理解几何体的三视图的意义，不能正
30、确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系正解如图所示，作几何体SABCD且知平面SCD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SECD于点E，得SE平面ABCD且SE20.VSABCDS正方形ABCDSE；这个几何体的体积是.易错突破在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑补偿练习25(2013浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_ cm3.答案24解析由三视图可知，其直观图为：AB
31、4，AC3，BAC90，BC5.作AHBC于H，AH.作A1MBB1于M，A1NCC1于N.连接MN.V(53)(34)224.易错点26线面关系定理条件把握不准致误例26在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C.错解(1)连接BD1，E、F分别为DD1、DB的中点EFD1B，EF平面ABC1D1.(2)ACBD，又ACD1D，AC平面BDD1，EFAC.错因分析推理论证不严谨，思路不清晰正解(1)连接BD1，如图所示，在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EFD1B.EF平面ABC1D1.(
32、2)ABCDA1B1C1D1为正方体AB面BCC1B1EFB1C.易错突破证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等补偿练习26如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，
33、BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明(1)方法一因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.在ABD中，由余弦定理，得BD2AD2AB22ADABcosBAD.又因为AB2AD，BAD60，所以BD23AD2.所以AD2BD2AB2，所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.方法二因为DD1平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D.如图，取AB的中点G，连接DG.在ABD中，由AB2AD，得AGAD.又BAD60，所以ADG为等边三角形，所以GDGB，故DBGGDB.又AGD60
34、，所以GDB30，所以ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)如图，连接AC、A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台的定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.易错点27空间向量概念不清致误例27在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC_.错解cos，.ABC45.错因分析概念混淆，没有搞清，和A
35、BC的区别正解(2，4,0)，(1,3,0)，cos，ABC135.易错突破弄清向量夹角与几何图形中的角的区别与联系在用向量表示角的时候，一定要特别注意向量的起点是否相同，以此决定二者是相等还是互补补偿练习27设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且ab，记|ab|m，求ab与x轴正方向的夹角的余弦值解设ab与x轴正方向的夹角为，取x轴上一点P，令(1,0,0)，则由题意可得：cos ，所以ab与x轴正方向的夹角的余弦值为.易错点28混淆空间角与两向量夹角致误例28如图所示，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC底面ABCD，E
36、为PC的中点(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值；(2)求AP与平面ABCD所成角的正弦值错解如图所示，取DC的中点O，连接PO，PDC为正三角形，PODC.又平面PDC平面ABCD，PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，a)，A(a，0)，B(a，0)，C(0，0)，D(0，0)(1)E为PC的中点，E(0，a)，(0，a，a)，(a，a)，a()a(a)a2，|a，|a，cos，.异面直线PA与DE所成角的余弦值为.(2)平面ABCD的法向量n(0,0，a)，cos，n.AP与平面ABCD所成角的正弦值为.错因分析(1)异面直线PA与DE所成的角为锐角或
37、直角，余弦值一定非负(2)直线AP与平面ABCD所成的角不是与平面ABCD的法向量所成的角正解(1)在求出cos，后，异面直线PA、DE所成的角是锐角或直角，异面直线PA、DE所成角的余弦值是.(2)cos，n，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为.易错突破本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念，当然运算错误也是常见的一种失分原因要避免失分，首先要理解空间角与向量所成角是两个不同的概念；其次要理清向量的夹角与空间角的关系，如：异面直线PA与DE所成的角的取值范围是(0，向量与所成的角，的取值范围是0，cos |cos，|.线面角的范围是0，sin |cos，n|.补偿练
38、习28如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥PABCD.(1)当Q为PC的中点时，证明：PA平面BDQ；(2)当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60；(3)当侧棱与底面所成的角为60时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值(1)证明连接AC交BD于点O，连接OQ，点O，Q分别是AC，PC的中点，OQAP，又OQ平面BDQ，PA平面BDQ，PA平面BDQ.(2)解建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，不妨设高OPx，则A(1，1,0)，P(0,0，x)，所以(1,1，x)而(2,0,0)，所以cos，要使异面直线AP与BC所成的角为60，只
39、需cos 60，解得x，此时侧棱长也就是三角形的腰长为2.(3)解侧棱与底面所成的角为60时，也就是PBO为60时，而OB，所以OP.所以(1,1，)，(0,2,0)，不妨设平面PAB的一个法向量为n1(x，y，z)，则有，即，不妨令x，可得n1(，0,1)同理可得平面PBC的一个法向量n2(0，1)，所以cos n1，n2，所以相邻两个侧面所成的二面角的余弦值为.解析几何易错点29忽视倾斜角的范围致误例29经过点(2,3)，倾斜角是直线3x4y50倾斜角一半的直线的方程是_错解设所求直线的倾斜角为，则tan 2，tan 或tan 3.故所求直线的方程为x3y70或3xy90.错因分析错解中只
40、注意了直线倾斜角的关系，而忽视了直线倾斜角的范围，导致增解正解由tan 2，可得2，故tan (舍去)或tan 3，因此所求直线的方程为3xy90.易错突破在求直线倾斜角的过程中，如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时，要根据倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角补偿练习29已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_答案0，所以由基本不等式得k1.又k0，所以1k0，即1tan 0，所以r，即 ，化简得a2a90，149350，圆心C的坐标为(，1)，半径r.当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，|AC|r，即 ，化简得a2a90.由得a，a的取值
41、范围是a0.本题的失分原因是忽视了这个条件在解决此类问题时，可以直接判断D2E24F0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的，都要考虑参数的条件补偿练习31设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程解依题意可设椭圆方程为1 (ab0)，则e21，即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2x22a2y23y324b23.若b，与b矛盾所以必有b，此时当y时，d2有最大值，从而d有最大值所以4b23()2，解得b21，a24.于是所求椭圆的方程为y21.易错点32忽视圆锥曲线定义中的条件
42、致误例32已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_错解x21错因分析错误运用双曲线定义出错本题中，|MC2|MC1|2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支如果不注意，就会得出错误的结果，即点M的轨迹方程为x21.正解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数又根据双曲线的定
43、义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a|F1F2|时，点的轨迹不存在补偿练习32“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析要使方程1表示椭圆，应满足，解得3m5且m1，因此“3m0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_错解如图，设|PF2|m，F1PF2 (0)，由条件得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|
44、PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos 1，所以e(1,3)错因分析漏掉了P在x轴上的情况，即F1PF2时的情况正解设|PF2|m，F1PF2 (0)，当点P在右顶点处时，.e3.当，由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos a0)，直线l过点A(a,0)和B(0，b)，且原点到直线l的距离为c (c为半焦距)，则双曲线的离心率为_答案2解析因为直线l过点A(a,0)和B(0，b)，所以其方程为1，即bxayab0.又原点到直线l的距离为c，所以c.又a2b2c2，所以4abc2，即16a2(c2a2)3c4.所以
45、3e416e2160，解得e24或e2.又ba0，e22.所以e24，故e2.易错点34忽视0致误例34已知双曲线x21，过点B(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于Q1，Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由错解设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，代入双曲线方程得化简得k.中点B(1,1)，x1x22，y1y22，k2.满足题设的直线存在，且方程为y12(x1)，即2xy10.错因分析错解中没有判断直线2xy10和双曲线x21是否相交正解设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，代入双曲线方程得得(x1x2)(x1x2)(y1
46、y2)(y1y2)B(1,1)为Q1Q2的中点，k2.直线方程为y12(x1)，即2xy10.联立消去y得2x24x30.(4)242380，14m212m32m210，12m32m210，即(2m1)(6m22m1)0.m，即m的取值范围是.概率与统计易错点35抽样方法理解不清致误例35某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是()A简单随机抽样法B抽签法C系统抽样法 D分层抽样法错解A错因分析没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住正解显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选D.
47、易错突破简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大补偿练习35一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2 500,3 500)月收入段应抽出_人答案40解析根据图可以看出月收入在2 500,3 500)的
48、人数的频率是(0.000 50.000 3)5000.4，故月收入在2 500，3 500)的应抽出1000.440(人)易错点36基本事件概念不清致误例36先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为_错解所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；出现“两正一反”的概率为.错因分析没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的正解所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八种，而“两正一反”事件含三个基本事件，P.易错突破对于公式P(A)(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事
49、件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性补偿练习36掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率解掷两枚骰子可能出现的情况：(1,1)，(1,2)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，(6,1)，(6,2)，(6,6)，基本事件总数为6636.在这些结果中，事件A只有两种可能的结果(1,2)，(2,1)，P(A).易错点37互斥事件概念不清致误例37抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(AB)错解因为P(A)
50、，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B)1.错因分析事件A、B不是互斥事件，使用加法公式错误正解将AB分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，所以P(AB)P(CD)P(C)P(D).易错突破在应用公式P(AB)P(A)P(B)求解概率问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以转化为互斥事件，再用公式补偿练习37在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，
51、通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B，随机选取两种的情况为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(4,5)，共15种(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)故P(A).(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)故P(B)1.答所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的
52、概率为，所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3的概率为.易错点38分不清排列、组合问题致误例38如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解对于有一个中心的结构形式有A，对于四个岛依次相连的形式有A，共有2A48(种)错因分析没有理清题目中的顺序关系，混淆排列与组合正解由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C种方法对于第二种结构，有CA种方法总共有CCA16(种)易错突破对于排列、组合的混合问题，可以通过分类，画图等搞清其中的顺序补偿练习38有大小、形状完全相同的3个红色
53、小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？解方法一8个小球排好后对应着8个位置，题中要求的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题这样共有C56(种)排法方法二将8个小球全排列有A种方法，3个红球之间不应该排序，除以A；5个白球之间也不应该排序，除以A，所以共有56(种)排法易错点39二项式系数与系数混淆致误例39已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则n的取值所构成的集合为_错解由已知条件可得2CCC，化简可得n25n20，此方程无整数解，故没有满足条件的n值故填.错因分析错解中前三项的二项式系数成等差数列，
54、没有搞清二项展开式中二项式系数和系数的概念正解由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8，n1(舍去)易错突破在解此类问题时，关键要抓住：在二项式(ab)n的展开式中，其通项Tr1Canrbr是指展开式的第r1项，因此展开式中第1,2,3，n项的二项式系数分别是C，C，C，C.补偿练习39在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7 B28 C7 D28答案C解析因为第5项的二项式系数最大，所以n8.设二项展开式的通项为Tr1C()8r(x)r(1)rx8r，令8r0，得r6，常数项为7.易错点40事件分拆混乱致误例40某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考
55、核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”甲，乙，丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响(1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)错解(1)设甲，乙，丙至少两人合格为事件A，P(A)0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.402.(2)设三人都合格为事件B，P(B)0.90.80.70.504.错因分析事件分拆错误“至少两人合格”要分析为“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合
56、格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格”四个事件之和；三人课程考核合格要写成六个独立事件的积正解记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记为Ai的对立事件，i1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)P(A1A2A1A3A2A3A1A2A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.70.902.(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D，P(
57、D)P(A1B1)(A2B2)(A3B3)P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)0.90.80.80.70.70.90.254 0160.254.所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.易错突破对复杂事件的概率计算问题要将事件分拆成几个互斥事件的和，再把每个事件分成若干独立事件的积分拆过程中要明确事件的实质，全面准确地分拆事件补偿练习40一般的军用直升机是双发动机，只要一个发动机能够正常工作，这个直升机就能够正常飞行在研制某种型号的直升机时，采用了甲、乙两种型号的发动机，已知发动机甲能正常工作的概率是0.9，发动机乙能正常工作的概率是0.95，则这架直升机能正常飞行的概率是_答案0
58、.995解析方法一显然甲、乙正常工作是相互独立的记事件A为“发动机甲能正常工作”，事件B为“发动机乙能正常工作”，则P(A)0.9，P(B)0.95，直升机正常飞行是事件(AB)(B)(A)，而事件AB，B，A是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，得直升机能够正常飞行的概率是P(ABBA)P(AB)P(B)P(A)0.90.950.10.950.90.050.995.方法二直升机不能正常飞行就是两个发动机都不能正常工作记事件A为“发动机甲能正常工作”，事件B为“发动机乙能正常工作”，则P(A)0.9，P(B)0.95.直升机不能正常飞行是事件，根据独立事件的概率乘法公式P()P()P()1P(
59、A)1P(B)0.10.050.005，故直升机能够正常飞行的概率是10.0050.995.易错点41随机变量的意义理解不清致误例41已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(2)表示依方案乙所需化验次数，求的期望错解(1)设方案甲所需
60、化验次数为，则的所有可能值为1,2,3,4,5.根据方案甲，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列为：12345P0.20.20.20.20.2错因分析没有理解随机变量的意义结合题意考虑，逐个化验，直到确定患病动物为止，最多化验次数为4.正解(1)设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则方案甲中1的分布列为11234P方案乙中2的分布列为2123P0若甲化验次数不少于乙化验次数，则PP(11)P(21)P(12)P(21)P(22)P(13)P(21)P(22)P(23)P(14)00.72.(2)E()10232.4.易错突破
61、在解决有关分布列问题时，求随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列在写出分布列后，还要检验所有的概率之和是否为1.解题时要注意正确求出的分布列，准确记忆期望和方差公式，同时注意培养运算能力补偿练习41(2013课标全国)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望解(1)记该批产品通过检验为事件A；则P(A)C444.(2)X的可能取值为400,500,800；P(X400)1，P(X500)，P(X800)，则X的分布列为X400500800PE(X)506.25.
