1、第 3 讲 平面向量 感悟高考 明确考向（2010天津）如图,在ABC 中,AD AB,ADACAD则,1|,3BDBC .解析 设 BDa，则 BC 3a，作 CEBA 交 BA 的延长线于 E，可知DACACE，在 RtABD 中，sin B 1BD1a.在 RtBEC 中，CEBCsin B 3a1a3，cos DACcos ACE 3AC.ADAC 3AC 3.DACACADACADcos|答案 3考题分析本题考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积题目为中档题难度易错提醒.)1(线性表示用不能把ADABAC、.1,0)2(2 ADADAB忽视主干知识梳理1向量的概念(1)零向量模的大
2、小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为 a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量 b 在向量 a方向上的投影2向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab 的运算结果不仅与 a，b 的长度有关，而且也与 a，b
3、 的夹角有关，即 ab|a|b|cosa，b3两非零向量平行、垂直的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ab x1y2x2y10；ab ab0 x1x2y1y20.热点分类突破题型一 平面向量的数量积及应用例 1已知|a|4，|b|3，(2 a3 b)(2 ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|；求ABC 的面积.思维启迪,)3(ACAB若a b(1)应用向量数量积的变形公式求解，即cosa，b ab|a|b|；(2)应用公式|ab|(ab)2即可求解；(3)应用公式 S12|a|b|sina，b求解，关键是求sina，b的值向量的数量积公式 向量的夹
4、角 向量的模解(1)由(2a3 b)(2 ab)61，得 4|a|24 ab3|b|261，|a|4，|b|3，代入上式得 ab=6，cos ab|a|b|64312.又 0180，120.(2)|ab|2(ab)2|a|22 ab|b|2422(6)3213，|ab|13.(3)由(1)知BAC120，1234sin 1203 3.BACABACSACABABCsin|21,3|,4|a b 探究提高(1)准确利用两向量的夹角公式 cosa，b ab|a|b|及向量模的公式|a|aa.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意aa0，未必有 a0 或 b0；|ab|a|b|.变式训练 1 在ABC
5、 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且(1)判断ABC 的形状；BCBAACAB解,)1(BCBAACAB,cos|cos|BBCBAAACABcbcos Acacos B，即 bcos Aacos B.sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bsin Bcos A0，即 sin(AB)0.AB，即ABC 为等腰三角形.,2)2(的值求边若cACAB.22|,|21|2cos|,2cos|,22,即c的值为,即又倍.上射影的在的长为(2)由(1)知ABABABAACAACABACABABACABBA题型二 有关向量的平行、垂直问题例 2已知向量 a(sin x，co
6、s x)，b(3cos x，cos x)且 b0，定义函数 f(x)2ab1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若 ab，求 tan x 的值；(3)若 ab，求 x 的最小正值思维启迪(1)根据已知求 f(x)的解析式，再由三角函数的单调性求 f(x)的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值；(3)abab0，得到关于 x 的三角等式，进而求出 x的最小值解(1)f(x)2ab12(3sin xcos xcos2x)1 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)由 2k22x62k2，kZ，得 k3xk6，kZ.f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2
7、)由 ab，得 sin xcos x 3cos2x0，b0，cos x0.tan x 30，tan x 3.(3)若 ab，则 ab0.3sin xcos xcos2x0.b0，cos x0.3tan x10，即 tan x 33.xk56，kZ.当 k0 时，x 有最小正值56.探究提高向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程变式训练 2设ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边长为 a、b、1，已知向量 ua(cos B，sin B)，vb(cos A，sin A)(1)如果 uv，指出ABC
8、 的形状，并说明理由；(2)求|uv|.解(1)由 uv 知 uv0，即a(cos B，sin B)b(cos A，sin A)0，cos Bcos Asin Bsin A0，cos(AB)0，又0AB0 为锐角或零角ab090ab 0 为钝角或平角3.利用数量积求向量的长度(或模)条件计算公式a(x，y)|a|a2 x2y2A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)2(y1y2)2|AB知能提升演练一、选择题1已知向量 a(1,3)，b(3，n)，若 2ab 与 b 共线，则实数 n 的值是()A32 3B9C6 D32 3解析 2ab(1,6n)，由 2 ab 与 b 共线知1n3(6
9、n)，n9，故选 B.B2（2010全国）a，b 为平面向量，已知 a(4,3),2 ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.865B 865C.1665 D1665解析 a(4,3)，2a(8,6)又 2ab(3,18)，b(5,12)，ab203616.又|a|5，|b|13，cosa，b 165131665.C3已知平面向量 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则2a3 b 等于()A(2，4)B(3，6)C(4，8)D(5，10)解析 a(1,2)，b(2，m)，ab，m4.b(2，4)，2 a3b(2,4)(6，12)(4，8)C4(2010安徽)设向量 a(1,0)
10、，b(12，12)，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab 22Cab 与 b 垂直Dab解析 a(1,0)，b(12，12)，|a|1，|b|1414 22，A 错误；ab11201212，B 错误；ab(12，12)，(ab)b121212120，C 正确；112012120，D 错误C5已知向量 a(sin(6),1)，b(4,4cos 3)，若ab，则 sin(43)等于()A 34B14C.34D.14解析 因为 ab，所以 4sin(6)4cos 30，即 2 3sin 6cos 30，即 4 3sin(3)3，所以 sin(3)14，又 sin(43)sin(3)14，故选
11、B.B二、填空题6A 是ABC 的一个内角，且向量 m(3，cos A1)，n(sin A，1)，mn，则角 A 的大小为_解析 mn，mn(3，cos A1)(sin A，1)3sin A(cos A1)(1)0，3sin Acos A1，sin(A6)12.0A，6A60)，则有(ab)2a 22 abb 2m2，2 abm2.a(ab)a2abm2m22 3m22，(ab)2a22abb2m2m2m23m2，cosa，aba(ab)|a|ab|32m2m 3m 32.a，ab30.错误答案 三、解答题9已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0.(1)求证：ab 与 ab
12、互相垂直；(2)若 kab 与 kab(k0)的长度相等，求.(1)证明 因为(ab)(ab)aaabbabbaabb|a|2|b|2 cos2sin2 cos2sin2110，所以 ab 与 ab 互相垂直(2)解 kab(kcos cos，ksin sin)，kab(kcos cos，ksin sin)，所以|kab|k22kcos()1，|kab|k22kcos()1，因为|kab|kab|，所以 k22kcos()1k22kcos()1，有 2kcos()2kcos()，因为 k0，故 cos()0.又因为 0，0，所以 2.10已知向量 m(3sinx4，1)，n(cosx4，cos
13、2x4)(1)若 mn1，求 cos(23 x)的值；(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数 f(A)的取值范围解(1)mn 3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx212cosx212sin(x26)12.又mn1，sin(x26)12.cos(x3)12sin2(x26)12，cos(23 x)cos(x3)12.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A，且 sin A0.cos B12，又0B，B3.0A23.6A262，12sin(A26)1.又f(x)mnsin(x26)12，f(A)sin(A26)12.故函数 f(A)的取值范围是(1，32)返回
