1、解答题专题练(六)函数与导数(建议用时：60分钟)1(2015长沙模拟)定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4，4恒成立，求实数m的取值范围2已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值3设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围4已知函数f(x).(1)证明：00，a0时，f(x)，求实
2、数a的取值范围5(2015江西省七校第一次联考)已知函数f(x)aln xx21.(1)当a时，求f(x)在区间上的最值；(2)讨论函数f(x)的单调性6(2015河南省洛阳市统考)设函数f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)讨论函数h(x)的单调性；(2)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围答案解答题专题练(六)函数与导数1解：(1)因为f(x)x2x，所以当x1时，f(1)2，因为f(x)2x1，所以f(1)3，所以所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)所以当4x0；当1x3
3、时，h(x)0；当30.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，所以实数m的取值范围为.2解：(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当xr或xr时，f(x)0；当rxr时，f(x)0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.3解：(1)对f(x)求导得f(x).因
4、为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a.故a的取值范围为.4解：(1)证明：设g(x)xex1，则g(x)(x1)ex.当x(，1)时，g(x)0，g(x
5、)单调递增所以g(x)g(1)1e10.又ex0，故f(x)0.又f(x).当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)f(0)1.综上，有00，所以f(x)等价于(ax2x1)ex10.(*)设h(x)(ax2x1)ex1，则h(x)x(ax2a1)ex.若a，则当x(0，)时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)0.若0a，则当x时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)0时，不等式(*)成立当且仅当a.综上，a的取值范围是.5解：(1)当a时，f(x)ln x1，所以f(x)，因为f(x)的定义域为(0，)，所以由f(x
6、)0得x1.所以f(x)在区间上的最值只可能在f(1)，f，f(e)中取到，而f(1)，f，f(e)，所以f(x)maxf(e)，f(x)minf(1).(2)f(x)，x(0，)当a10，即a1时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当1a0时，由f(x)0得x2，所以x或x(舍去)，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当1a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减当a1时，f(x)在(0，)上单调递减6解：(1)因为h(x)ln x，所以h(x)，当a0时，h(x)0，函数h(
7、x)在(0，)上单调递增；当a0时，令h(x)0，得x，即函数h(x)的单调递增区间为(，)；令h(x)0，得0x，即函数h(x)的单调递减区间为(0，)(2)由g(x)x3x23得g(x)3x22x3x，因为g，g，g(2)1，所以g(x)max1，故对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于当x时，f(x)xln x1恒成立，等价于axx2ln x恒成立，记F(x)xx2ln x，所以aF(x)max.F(x)12xln xx，F(1)0.令m(x)12xln xx，m(x)32ln x，当x时，m(x)32ln x0，当x(1，2时，F(x)0，即函数F(x)xx2ln x在上单调递增，在(1，2上单调递减，所以F(x)maxF(1)1，从而a1.
