1、章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线ax2y10与x(a1)y20平行，则a等于()A.B2C1 D2或1解析：选D.由a(a1)210得a2a20，所以a2或1，经检验均适合题意2ABC的顶点坐标是A(3，1，1)、B(5，2，1)、C，则它在yOz平面上的射影图形的面积是()A4 B3C2 D1解析：选D.ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别是(0，1，1)、(0，2，1)、(0，2，3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.故选D.3
2、直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离解析：选B.圆心(0，0)到直线yx1的距离d1，所以直线与圆相交，圆心不在yx1上4不论m为何实数，直线(m1)xy2m10恒过定点()A(2，3) B(2，3)C(1，0) D(0，2)解析：选A.直线(m1)xy2m10可化为m(x2)(xy1)0，由得所以直线过定点(2，3)5两圆x2y21与x2y22x0的公共弦所在直线的方程是()Ax1 BxCyx Dx解析：选B.将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x.6圆x2y22x10关于直线2xy30对称的圆的方程是()A(x3)2(y2)2
3、B(x3)2(y2)2C(x3)2(y2)22 D(x3)2(y2)22解析：选C.圆x2y22x10可化为(x1)2y22.设圆心(1，0)关于2xy30的对称点为(a，b)，则解得所以所求圆的方程为(x3)2(y2)22.7设实数x，y满足(x2)2y23，那么的最大值是()A. BC. D解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为ykx，则与圆有交点的直线中，kmax，所以的最大值为.故选D.8过点P(4，2)作圆x2y24的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则OAB的外接圆方程是()A(x2)2(y1)25 B(x4)2(y2)220C(x2)2(y1)25 D(x4)2(y2
4、)220解析：选A.由条件O，A，B，P四点共圆，从而OP的中点(2，1)为所求圆的圆心，半径r|OP|，故所求圆的方程为(x2)2(y1)25.9在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D20解析：选B.由(x1)2(y3)210，可知圆心为O(1，3)，半径为，过E(0，1)的最长弦为圆的直径2，最短弦为以E为中点的弦，其长为22.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD的面积为2210.10已知点A(1，0)，B(0，2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值是()A2 BC. D解析：选B
5、.AB所在直线方程为x1，即2xy20.|AB|，圆心(1，0)到直线AB的距离d，点P到直线AB的最大距离为dd11.所以PAB面积的最大值是.11已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析：选B.因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1，0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10，故选B.12已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一点
6、，PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()A3 BC2 D2解析：选D.圆C：x2y22y0的圆心是(0，1)，半径是r1，因为PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kxy40的距离为，由点到直线的距离公式可得，因为k0，所以k2，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大因为A(1，1)，B(0，1)，kAB2，所以两平行线的
7、斜率为k，直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y3014若垂直于直线2xy0，且与圆x2y25相切的切线方程为ax2yc0，则ac的值为_解析：已知直线斜率k12，直线ax2yc0的斜率为.因为两直线垂直，所以(2)1，得a1.圆心到切线的距离为，即，所以c5，故ac5.答案：515已知两条直线yax2与y(2a)x1互相垂直，则垂足的坐标为_解析：由已知得a(2a)1，解得a1，则两条直线的方程分别为yx2与yx1，解得故垂足的坐标为.答案：16在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共
8、点，则k的最大值是_解析：圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4，0)由题意知(4，0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程；(3)求BC边的垂直平分线的方程解：(1)BC边所在的直线的斜率k，因为BC边上的高与BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为.又BC边上的高经过点A(4，0)，所以BC边上的高所在的直线方程为y0(x4)，
9、即3x2y120.(2)由已知得，BC边中点E的坐标是(3，5)又A(4，0)，所以直线AE的方程为，即5xy200.(3)由(1)得，BC边所在的直线的斜率k，所以BC边的垂直平分线的斜率为，由(2)得，BC边中点E的坐标是(3，5)，所以BC边的垂直平分线的方程是y5(x3)，即3x2y190.18(本小题满分12分)当m为何值时，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1.(1)倾斜角为45；(2)在x轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45，则斜率为1.所以1，解得m1，m1(舍去)，直线方程为2x2y50符合题意，所以m1.(2)当y0时，x1，解得m，或m2，当m，m2时都符合题意，所以
10、m或m2.19(本小题满分12分)在三棱柱ABOABO中，AOB90，侧棱OO平面OAB，OAOBOO2.若C为线段OA的中点，在线段BB上求一点E，使|EC|最小解：如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA、OB、OO所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由OAOBOO2，得A(2，0，0)、B(0，2，0)、O(0，0，0)，A(2，0，2)、B(0，2，2)、O(0，0，2)由C为线段OA的中点得C点坐标为(1，0，1)，设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|，故当z1时，|EC|取得最小值，为，此时E(0，2，1)为线段BB的中点20(本小题满分12
11、分)圆x2y28内有一点P(1，2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135 时，求|AB|；(2)当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式解：(1)过点O作OGAB于G，连接OA，当135 时，直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为xy10，所以|OG|d.又因为r2，所以|AG|，所以|AB|2|AG|.(2)当弦AB被P平分时，OPAB，此时kOP2，所以AB的点斜式方程为y2(x1)，即x2y50.(3)设AB的中点为M(x，y)，AB的斜率为k，OMAB，则消去k，得：x2y22yx0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P
12、的弦的中点的轨迹方程为x2y22yx0.21(本小题满分12分)已知曲线C的方程为：ax2ay22a2x4y0(a0，a为常数)(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y2x4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|ON|，求曲线C的方程解：(1)将曲线C的方程化为x2y22axy0(xa)2a2，可知曲线C是以点为圆心，以 为半径的圆(2)AOB的面积S为定值证明如下：在曲线C的方程中令y0，得ax(x2a)0，得点A(2a，0)，在曲线C方程中令x0，得y(ay4)0，得点B，
13、所以S|OA|OB|2a|4.(定值)(3)因为圆C过坐标原点，且|OM|ON|，所以OCMN，所以，所以a2，当a2时，圆心坐标为(2，1)，圆的半径为，圆心到直线l：y2x4的距离d，直线l与圆C相离，不合题意舍去，a2时符合题意这时曲线C的方程为x2y24x2y0.22(本小题满分12分)已知圆C的圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3，2)(1)求圆C的方程；(2)点M(0，1)与点N关于直线xy0对称是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使SOEF2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，用计算过程说明理由解：(1)过切点P(3，2)且与xy1
14、0垂直的直线为y2x3，即yx5.将yx5与直线y4x联立可得圆心坐标为(1，4)所以半径r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)设N(a，b)，因为M(0，1)与N关于xy0对称，所以解得a1，b0，即N(1，0)当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，原点到直线的距离d1.将x1代入圆的方程得y42，所以|EF|4，于是SOEF142，满足题意，此时直线l的方程为x1.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.圆心C(1，4)到直线l的距离d，设EF的中点为D，连接CD，则必有CDEF，在RtCDE中，|DE|，所以|EF|.因为原点到直线的距离d1，所以SOEF2，整理得3k210，不存在这样的实数k.综上所述，所求的直线方程为x1.
