1、天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m3）为（）A4BC3D2（4分）过点（2，0），且与直线3xy+1=0平行的直线方程式（）Ay=3x6By=3x+6Cy=3x2Dy=3x63（4分）直线3x2y6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa=2，b=3Ba=2，b=3Ca=2，b=3Da=2，b=34（4分）直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，则（）AlBlCl=MDl=N5（4分）已知过点A（a，4）和B（2，a）的直
2、线与直线2x+y1=0垂直，则a的值为（）A0B8C2D106（4分）已知四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）A75B60C45D307（4分）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A3个B4个C6个D7个8（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）ABCD9（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）ABCD10（4分）若圆O1：x2+y22
3、mx+m24=0与圆O2：x2+y2+2x4my+4m28=0相切，则实数m的取值集合是（）A，2B，0C，2D，0，2二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，5），B（4，2，3），则|AB|=12（4分）已知A（5，6）关于直线l的对称点为B（7，4），则直线l的方程是13（4分）设P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为14（4分）圆x2+y22x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为15（4分）如图，正三棱锥SABC的高SO=2，侧棱与底面成45角，则点C到侧面SAB的
4、距离是三、解答题（共5小题，满分40分）16（6分）如图，已知一个正三棱锥PABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面积17（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式（1）经过点P（，2）且倾斜角=120；（2）经过点A（1，0）和B（2，3）18（8分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不在BC的端点处），且ADDE，F为B1C1的中点（）求证：平面ADE平面B1BCC1；（）求证：A1F平面ADE19（8分）已知点P（4，0）及圆C：x2+y2+6x4y+4=0（）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方
5、程；（）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程20（10分）如图，在三棱锥PABC中，PAPB，ABBC，BAC=30，平面PAB平面ABC（）求证：PABC；（）求PC的长度；（）求二面角PACB的大小天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1（4分）一个空间集合体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积（单位：m3）为（）A4BC3D考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，求出底面面积和
6、高，进而可得该几何体的体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以主视图为底面的棱柱，底面面积S=11+（1+3）1=3，棱柱的高h=1，故棱柱的体积V=Sh=3，故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键2（4分）过点（2，0），且与直线3xy+1=0平行的直线方程式（）Ay=3x6By=3x+6Cy=3x2Dy=3x6考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：首先根据所求直线与已知直线平行可得所求直线的斜率，再根据所求直线经过点（2，0），进而利用直线的点斜式方程可得答案解答：解：直线3xy+1=0的斜率为3，并且
7、所求直线与直线3xy+1=0平行，所求直线斜率为3又因为所求直线过点（2，0），所以所求直线的方程为y0=3（x+2），即3xy+6=0故选：B点评：本题注意考查直线平行与直线斜率的关系，以及直线的点斜式方程，是基础题3（4分）直线3x2y6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa=2，b=3Ba=2，b=3Ca=2，b=3Da=2，b=3考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：分别令x=0和y=0代入直线方程求出对应的截距即可解答：解：由题意得，直线方程为：3x2y6=0，令x=0代入得，y=3，令y=0代入得，x=2，所a=2，b=3，故选：D点评：本题考查由直线方程的一
8、般式求截距问题，属于基础题4（4分）直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，则（）AlBlCl=MDl=N考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：直线与圆分析：由已知得M平面，N平面，由Ml，Nl，利用公理二得l解答：解：直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，M平面，N平面，Ml，Nl，l故选：A点评：本题考查点、直线、平面间的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要注意公理二的合理运用5（4分）已知过点A（a，4）和B（2，a）的直线与直线2x+y1=0垂直，则a的值为（）A0B8C2D10考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析
9、：由两点式求出直线AB的斜率，然后由直线垂直斜率的关系列式求得a的值解答：解：A（a，4），B（2，a），又直线2x+y1=0的斜率为2，解得：a=2故选：C点评：本题考查了直线的一般方程和直线垂直的关系，是基础题6（4分）已知四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都是2，且SO平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（）A75B60C45D30考点：棱锥的结构特征 专题：空间角分析：由题意可知，SAO即为侧棱与底面所成的角，然后直接由已知条件解直角三角形得答案解答：解：如图，SO平面ABCD，O为底面的中心，SAO即为侧棱与底面所成的角，四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都是2，AO
10、=，在RtSOA中，SAO=45故选：C点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了直线和平面所成角的求法，是基础题7（4分）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）A3个B4个C6个D7个考点：平面的基本性质及推论 专题：压轴题；数形结合；分类讨论分析：根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解解答：解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥DABC，当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的
11、相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选D点评：本题考查了三棱锥的结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力8（4分）由直线y=x+1上的点向圆（x3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）ABCD考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线y=x+1的距离d，切线长的最小值为解答：解：要使切线长最小，需直线y=x+1上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心（3，2）到直线y=x+1的距离d，d=3，故切线长的最小值为 =
12、，故选 A点评：本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，求切线长的方法9（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）ABCD考点：异面直线及其所成的角 专题：计算题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可解答：解：取BC的中点G连接GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=故选B点评：
13、本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题10（4分）若圆O1：x2+y22mx+m24=0与圆O2：x2+y2+2x4my+4m28=0相切，则实数m的取值集合是（）A，2B，0C，2D，0，2考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差相等求出m的值即可解答：解：圆O1：x2+y22mx+m24=0的圆心（m，0），半径为：2与圆O2：x2+y2+2x4my+4m28=0的圆心（1，2m），半径为：3圆心距为：，两个圆相外切：=5，两个圆相内切：=1，解得m=，0，2实数m的取值集合是，0，2故选：D点评：本题考
14、查两个圆的位置关系的应用，圆的一般方程的应用，考查计算能力二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11（4分）已知空间直角坐标系中，A（1，3，5），B（4，2，3），则|AB|=考点：空间向量的数量积运算 专题：空间向量及应用分析：利用向量的坐标运算、向量的模的计算公式即可得出解答：解：=（3，5，8），=故答案为：点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式，属于基础题12（4分）已知A（5，6）关于直线l的对称点为B（7，4），则直线l的方程是6x5y1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为（1，1
15、），求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果解答：解：已知A（5，6）关于直线l的对称点为B（7，4），故直线l为线段AB的中垂线求得AB的中点为（1，1），AB的斜率为 =，故直线l的斜率为 ，故直线l的方程为 y1=（x1 ），化简可得 6x5y1=0故答案为：6x5y1=0点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题13（4分）设P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为考点：与二面角有关的立体几何综合题 专题：空间角分析：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ
16、、BQ得直线l平面PAQB，由题意知AQB是二面角l的平面角，由此利用余弦定理能求出AB解答：解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l平面PAQB，P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，AQB是二面角l的平面角，AQB=60，PAB中，APB=18060=120，PA=4，PB=2，由余弦定理得：AB2=PA2+PB22PAPAcos120=42+22242（）=28，AB=2故答案为：点评：本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念，是中档题，解题时要注意利用正、余弦定理解三角形的灵活运用14（4分）圆x2+y22x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最
17、小值为3考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：由圆的一般方程求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，则答案可求解答：解：由x2+y22x+2y=0，得（x1）2+（y+1）2=2，圆x2+y22x+2y=0的圆心为（1，1），半径为由y=x+2，得3x4y+8=0，点（1，1）到直线3x4y+8=0的距离为=3圆x2+y22x+2y=0上的动点P到直线y=x+2的距离的最小值为3故答案为：点评：本题考查了圆的一般方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题15（4分）如图，正三棱锥SABC的高SO=2，侧棱与底面成45角，则点C到侧面SAB的距离是考点：点、线、面间的距离计算 专题：综合
18、题；空间位置关系与距离分析：由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，由体积计算公式求出点C到侧面SAB的距离解答：解：由题意底面高为3，底面边长为2，面积为3，侧棱长为2，侧面积为，由体积计算公式得32=h，得h=故答案为：点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查体积公式的运用，属于中档题三、解答题（共5小题，满分40分）16（6分）如图，已知一个正三棱锥PABC的底面棱长AB=3，高PO=，求这个正三棱锥的表面积考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：连接AO，确定正三棱锥PABC的四个面是全等的等边三角形，即可求这个正三棱锥的
19、表面积解答：解：连接AO，在等边三角形ABC中，由AB=3，可得AO=，在RtAOP中，AP=3，正三棱锥PABC的四个面是全等的等边三角形，S表面积=4=9点评：本题主要考查基本运算，考查三棱锥的全面积，属于中档题17（8分）根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式（1）经过点P（，2）且倾斜角=120；（2）经过点A（1，0）和B（2，3）考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：（1）先求出直线的斜率，代入点斜式化简为一般式方程即可；（2）根据题意代入两点式化简为一般式方程解答：解：（1）由题意得，直线倾斜角=120，则斜率k=tan120=，又经过点P（，2），代入点斜式得，y2=
20、（x+），即，所以直线的一般式方程是；（2）因为经过点A（1，0）和B（2，3），代入两点式得，即x+y+1=0，所以直线的一般式方程是x+y+1=0点评：本题考查直线方程的点斜式、两点式、一般式方程的应用，注意根据条件选择恰当的直线方程18（8分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不在BC的端点处），且ADDE，F为B1C1的中点（）求证：平面ADE平面B1BCC1；（）求证：A1F平面ADE考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）先证明AD平面B1BCC1，然后，得到平面和平面垂直；（）首先，
21、根据（）得AD平面B1BCC1，连接DF，得DFAA1，且DF=AA1，即可得到相应的结论解答：解：（）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1，ADDE，且DECC1=D，AD平面B1BCC1，AD平面ADE，平面ADE平面B1BCC1，（）根据（）得AD平面B1BCC1，BC平面B1BCC1，ADBC，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接DF，得DFAA1，且DF=AA1，即四边形AA1FD为平行四边形，A1FAD，AD平面ADE，A1F平面ADE，A1F平面ADE点评：本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直，直线与直线平行的判定等知识，
22、属于中档题，难度中等，解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质19（8分）已知点P（4，0）及圆C：x2+y2+6x4y+4=0（）当直线l过点P且与圆心C的距离为l时，求直线l的方程；（）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|取得最小值时，求以线段AB为直径的圆的方程考点：直线与圆的位置关系 专题：综合题分析：（）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=
23、4；（）点P（4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，从而写出所求圆的标准方程即可解答：解：（）由题意知，圆的标准方程为：（x3）2+（y+2）2=9，设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0=k（x+4）即kxy+4k=0又C的圆心为（3，2），r=3，由=1，得k=所以直线方程为3x4y+12=0；当k不存在时，直线l的方程为x=4综上，直线l的方程为3x4y+6=0或x=4；（）点P（4，0）为AB的中点时，|AB|取得最小值，|PC|=，r=3，|AB|min=2=4，以线段AB为直径的圆的方程为：（x+4）2+y2=4点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用
24、垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题20（10分）如图，在三棱锥PABC中，PAPB，ABBC，BAC=30，平面PAB平面ABC（）求证：PABC；（）求PC的长度；（）求二面角PACB的大小考点：空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题 专题：计算题；证明题分析：（1）证明由面面垂直的性质BCPA，又ABBC，得到BC平面PAB，进而证明PABC；（2）先求AB，再求BC，用勾股定理计算PC的长度；（3）作POAB于点O，OMAC于点M，证明，PMO是二面角PACB的平面角，在RtAMO中，求出 PO 和OM，可求PMO的正切值解答：解：（）证明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，且BCAB，BC平面PAB（3分）PA平面PAB，PABC（4分）（），PAPB，ABBC，BAC=30，BC=ABtan30=2（7分）BC平面PAB，BCPB，（9分）（）作POAB于点O，OMAC于点M，连接PM平面PAB平面ABC，PO平面ABC，根据三垂线定理得PMAC，PMO是二面角PACB的平面角（12分）在RtAMO中，易知AO=PO，（13分）即二面角PACB的大小是arctan2（14分）点评：本题考查空间2条直线的位置关系，二面角的平面角的求法
