1、5.3 平面向量的数量积一、选择题1若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案：D2若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为()A0 B. C. D.解析 acaaaaba2a20，又a0，c0，ac，a，c，故选D.答案D3. 设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）A B C .0 D.-1解析 正确的是C.答案C4已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4 C2 D2解析设a与b的夹角为，ab为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的
2、乘积，而cos ，|a|cos 64.答案A5若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc21，因为|abc|2a2b2c22ab2ac2bc，所以有|abc|232(acbc)1，故|abc|1.答案B6已知非零向量a、b满足|a|b|，若函数f(x)x3|a|x22abx1在xR上有极值，则a，b的取值范围是() A. B.C. D.解析f(x)x3|a|x22abx1在xR上有极值，f(x)0有两不
3、相等的实根，f(x)x22|a|x2ab，x22|a|x2ab0有两个不相等的实根，4|a|28ab0，即ab|a|2，cosa，b，|a|b|，cosa，b，0a，b，a，b.答案D7如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.B.C.D.解析由于，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则|cos 30a2，|cos 60a2.答案A二、填空题8已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60，则|a3b|等于_解析 |a3b|2a26ab9b2106cos607，|a3b|.答案 9.已知向量, ，若，则的值
4、为 解析 答案 10已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析设a与b夹角为，由题意知|a|1，|b|1，0且.由ab与向量kab垂直，得(ab)(kab)0，即k|a|2(k1)|a|b|cos |b|20，(k1)(1cos )0.又1cos 0，k10，k1.答案111已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若ab0，则实数k的值为_解析由题意知：ab(e12e2)(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，即kcos2kcos20, 化简可求得k.答案12在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的
5、长为2，则()的值为_解析：|2|2|28，|，2，()2|24.答案：4三、解答题13已知向量a(1,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(bc)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影解析：(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)bc26260，(bc) a0a0.(2) ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于ab与a垂直，212(22)0，.(3)设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上的投影为|a|cos .|a|cos .14如图所示，(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式； (2)在(1)条件下
6、，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积解析(1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，0.即(x6)(x2)(y1)(y3)0，联立化简，得y22y30，y3或y1.故当y3时，x6，此时(0,4)，(8,0)，SABCD|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，SABCD|16.15已知平面上三点A，B，C满足|3，|4，|5，求的值解析由题意知ABC为直角三角形，0，cosBAC，cosBCA，和夹角的余弦值为，和夹角的余弦值为，201525.16设两向量e1，e2满足|e1|2，|e2|
7、1，e1，e2的夹角为60，若向量2t e17e2与向量e1t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围思路分析转化为(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)解析由已知得e4，e1，e1e221cos 601.(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7.欲使夹角为钝角，需2t215t70.得7t.设2t e17e2(e1t e2)(0)2t27.t，此时.即t时，向量2te17e2与e1te2的夹角为.夹角为钝角时，t的取值范围是【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.
