1、二项式定理一、知识回顾1、二项式定理:2、二项式系数的性质 若是偶数,有,即中间一项的二项式系数最大;若是奇数,有,即中间二项的二项式系数相等且最大 3、组合恒等式 或 4、数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法(1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式;(2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合;(3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩;(4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关,其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决二、基础训练1、的展开式中整理后的常数项为_2、_3、对于二项
2、式(+x3)n(nN*),四位同学作出了四种判断:存在nN *,展开式中有常数项;对任意nN *,展开式中没有常数项;对任意nN *,展开式中没有x的一次项;存在nN *,展开式中有x的一次项上述判断中正确的是_4、若(2x)4a0a1xa2x2a3x3ax4,则(a0a2a4)2(a1a3)2=_5、若的展开式为,则=_6、在代数式(4x22x5)(1)5的展开式中,常数项为_7、已知nN,(1+n)1999除以2+n的余数是_8、若x=2,则(1+x)15展开式中最大的项是_9、的值是_10、比()6大的最小正数是_11、已知n为偶数,化简=_12、1=_三、例题选讲例1、在一次兵乓球单打
3、比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出.这样全部比赛只进行了50场,那么,上述3名选手之间的比赛场数是多少?例2、已知集合A=1,2,3,10,求A的所有非空子集的元素个数之和.例3、设多项式1x+x2x3+x16x17可以写成a0+a1y+a2y2+a3y3+a16y16+a17y17,其中y=x+1,并且诸ai都是常数,求a2 .例4、求N=19881的所有形如为自然数)的因子之和.例5、已知数列满足 求证:对于任何自然数n,是x的一次多项式或零次多项式.例6、若,求证:例7、设的整数部分,求的个数数字例8、数列中,求的末位数字是多少?例9、已知试问:在数列中是否有无穷多个能被15整除的项?证明你的结论.例10、求证:对任意的正整数,不等式