1、第2讲函数的单调性与最值最新考纲考向预测1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性命题趋势以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.核心素养逻辑推理、数学抽象、数学运算1函数的单调性(1)单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1f(x2)，
2、那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在xI，使得f(x)M对于任意xI，都有f(x)M；存在xI，使得f(x)M结论M为最大值M为最小值常用结论1函数单调性的两个等价结论设x1，x2D(x1x2)，则(1)0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增(2)0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减2函数最值存在的两条结
3、论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值常见误区1求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误2有多个单调区间应分开写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)所有的单调函数都有最值(
4、)(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下列函数中，在区间(0，)上单调递减的是()AyxByx2xCyln xxDyex解析：选A.对于A，y1在区间(0，)上是减函数，y2x在区间(0，)上是增函数，则yx在区间(0，)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，)上均不单调；选项D中，yex在区间(0，)上是增函数3(易错题)已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1B3，)C(，1D1，)解析：选B.设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的
5、对称轴为x1，所以函数t在区间(，1上单调递减，在区间3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)4已知函数f(x)，x2，6，则f(x)的最大值为_，最小值为_解析：可判断函数f(x)在区间2，6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).答案：25若函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_解析：因为函数y(2k1)xb在R上是减函数，所以2k10，即k.答案：确定函数的单调性(区间)角度一判断或证明函数的单调性 试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性【解】方法一：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，因为1x1x20
6、，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增利用定义法证明或判断函数单调性的步骤注意判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等角度二求函数的单调区间 (2021苏州模拟)求函数f(x)x22|x|1的单调区间【解】f(x)画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和(0，1，单调递减区间为(1，0和(1，)【引申探究】(变条件)若本例函数变为f(x)|x22x1|，如何求解？解：函数y
7、|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为1，1和1，)；单调递减区间为(，1和1，1确定函数的单调区间的方法1函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是()A(，0)BC0，)D解析：选B.y|x|(1x)画出函数的草图，如图由图易知原函数在上单调递增2(多选)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()AyByxCyx2Dy|x1|解析：选ABC.由(x1x2)f(x1)f(x2)0可知，f(x)在 (0，)上是增函数对于A项，y在(0，)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，yx在(0，)上
8、单调递增，所以B项符合题意；对于C项，yx2在(0，)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y|x1|在(0，)上不单调，故选ABC.3若函数f(x)在R上为增函数，则实数b的取值范围为()A.B1，2C.D解析：选B.要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)(2b1)xb1在(0，)上单调递增，函数h(x)x2(2b)x在(，0上单调递增，且满足h(0)g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1b2，即实数b的取值范围是1，2函数的最值(值域) (1)函数y的值域是_(2)函数yx的最小值为_(3)(2020苏北四市高三质量检测)已知函数f(x)有最小值，则实数a的取值范围
9、是_【解析】(1)(分离常数法)因为y1，又因为1x21，所以02，所以10时，函数f(x)x24，当且仅当x2时取等号；当x0时，f(x)2xa(a，1a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a4.【答案】(1)(1，1(2)1(3)4，)求函数最值的五种常用方法注意导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养 1已知1x5，则下列函数中，最小值为4的是()Ay4xByxCyx22x3Dy5解析：选D.易知函数y4x在1，5上单调递增，所以4x5，A不符合题意；因为x1，所以yxx11413(当且仅当x1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；yx22x3(x1)24，其最大值为4(
10、当x1时取得)，最小值是f(5)12，C不符合题意；因为函数y5在(0，)上单调递增，所以在区间1，5上也是增函数，其最小值为f(1)54，符合题意故选D.2(2020深圳模拟)函数y的最大值为_解析：令 t，则t2，所以x2t24，所以y，设h(t)t，则h(t)在2，)上为增函数，所以h(t)minh(2)，所以y(x0时取等号)即y最大值为.答案：函数单调性的应用角度一比较函数值的大小 已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac【解析】因为f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.当x2x11时，f(x2)f(x
11、1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.【答案】D利用函数的单调性比较函数值大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解角度二解函数不等式 已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_【解析】因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x.【答案】(，2)(2，)在求解与抽象函数有关的
12、不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域角度三求参数的值(范围) 已知f(x)是(，)上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0，1)BC.D【解析】由f(x)是减函数，得解得a，所以实数a的取值范围是.【答案】C利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的注意求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值1已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调
13、递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A.BC.D解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.故选D.2函数y|2xa|在1，)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1B(，2C(，1D(，2解析：选B.因为函数y|2xa|的单调增区间是，且函数y|2xa|在1，)上单调递增，所以1，)，所以1，解得a2.故选B.思想方法系列3数形结合法求函数的值域或最值 (1)若函数f(x)则函数f(x)的值域是()A(，2)B(，2C0，)D(，0)(0，2)(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，函数yf(x1)的图象关于点(1，0
14、)对称，若对任意的x，yR，不等式f(x26x21)f(y28y)3时，x2y2的取值范围是()A(3，7)B(9，25)C(13，49)D(9，49)【解析】(1)分别画出y2x(x1)和ylog2x(x1)的图象，如图由图象可知，函数的值域为(，2)(2)由函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数yf(x)的图象关于原点(0，0)对称，即函数yf(x)为奇函数，由f(x26x21)f(y28y)0，得f(x26x21)f(y28y)，所以x26x21y28y，整理得(x3)2(y4)23时，(x3)2(y4)24表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2y2可看作半圆
15、内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2y2的值最大，即(2)249，当在点A时x2y2的值最小，最小值为322213，故x2y2的取值范围是(13，49)【答案】(1)A(2)C(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式或直线的斜率等(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域 求函数y的值域解：y，把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(2，2)，B(2，1)，即yPAPB.通过观察图象，当点P在线段AB上时，yPAPB取到最小值，yAB5.所以PAPB5，即函数y的值域为5，)
