1、热点专题突破系列(一)导数的综合应用 考点一 利用导数解决实际生活中的优化问题 【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查.【典例1】(2015重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 元(为圆周率).(1
2、)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值.【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.根据题意得 200rh+160r2=12000,所以h=(300-4r2),从而V(r)=r2h=(300r-4r3).因r0,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,)时,V(r)时，函数g(x)无零
3、点；当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m 时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m 时，函数g(x)无零点；当m=或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m 时，函数g(x)有两个零点.2.3232323232323(3)对任意的ba0,1恒成立，等价于f(b)-bf(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x0),所以(*)等价于h(x)在(0,+)上单调递减.由h(x)=0在(0,+)恒成立，得m-x2+x=-(x-)2+(x0)恒成立，所以m (对m=,h(x)=0仅在x=时成立),所以m的取值范围是 ,+)
4、.f(b)f(a)bamx21m1xx121414141214【易错警示】解答本题有两点容易出错.(1)第(2)问求m及构造函数时容易忽略定义域.(2)第(2)问忽略对m分类讨论或分类标准不准确.【规律方法】1.利用导数确定三次式、分式、以e为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调
5、性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.2.根据三次式、分式、以e为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的个数求参数取值范围的方法 构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的情况等,画出g(x)的图象草图,数形结合得参数的取值范围或关于参数的不等式(组)再求解.【变式训练】(2015长春模拟)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+)上是单调减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范围.(2)若g(x)在(-1,+)上是
6、单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.【解析】(1)f(x)=-a0在(1,+)上恒成立,则a ,x(1,+),故a1.g(x)=ex-a,若1ae,则g(x)=ex-a0在(1,+)上恒成立,此时,g(x)=ex-ax在(1,+)上是单调增函数,无最小值,不合题意;若ae,则g(x)=ex-ax在(1,ln a)上是单调减函数,在(ln a,+)上是单调增函数,g(x)min=g(ln a),满足题意.故a的取值范围为ae.1x1x(2)g(x)=ex-a0在(-1,+)上恒成立，则aex,故a ,f(x)=(x0).若0a ,令f(x)0，得增区间为(0,);令f(x)0，得
7、减区间为(,+).当x0时,f(x)-;当x+时，f(x)-;当x=时,f()=-ln a-10，当且仅当a=时取等号.故当a=时，f(x)有1个零点；当0a 时，f(x)有2个零点.1e11 axaxx1e1a1a1a1a1e1e1e若a=0时，则f(x)=ln x，易得f(x)有1个零点.若a0，则f(x)=-a0在(0,+)上恒成立，即f(x)=ln x-ax在(0,+)上是单调增函数，当x0时，f(x)-;当x+时,f(x)+.此时，f(x)有1个零点.综上所述，当a=或a0时,f(x)有1个零点；当0a 时,f(x)有2个零点.1x1e1e【加固训练】(2015杭州模拟)设函数f(x
8、)=x3+ax2-a2x+m(a0).(1)若a=1时,函数f(x)有三个互不相同的零点,求点m的取值范围.(2)若函数f(x)在-1,1内没有极值点,求a的取值范围.(3)若对任意的a3,6,不等式f(x)1在x-2,2上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x+m,因为f(x)有三个互不相同的零点,所以f(x)=x3+x2-x+m=0,即-x3-x2+x=m有三个互不相同的实数根.令g(x)=-x3-x2+x,则g(x)=-(3x-1)(x+1).令g(x)0,解得-1x ;令g(x)0,解得x .所以g(x)在(-,-1)和(,+)上为减函数,131
9、313在(-1,)上为增函数.所以g(x)极小值=g(-1)=-1,g(x)极大值=g()=所以m的取值范围是(-1,).13135.27527(2)因为f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0),所以f(x)=3x2+2ax-a2.因为f(x)在x-1,1内没有极值点,所以方程f(x)=3x2+2ax-a2=0在区间-1,1上没有实数根,由=4a2-12(-a2)=16a20,二次函数对称轴x=-0,当f(x)=0时,即(3x-a)(x+a)=0,解得x=-a或x=,所以 或 -1(a3.所以a的取值范围是a|a3.a3a3a1,a1,3a3(3)令f(x)=3x2+2ax-a2=0,解得x
10、=-a或x=,且a3,6时,1,2,-a-6,-3.又因为x-2,2,所以f(x)在-2,)上小于0,f(x)是减函数;f(x)在(,2上大于0,f(x)是增函数;所以f(x)max=maxf(-2),f(2),而f(2)-f(-2)=16-4a20时,x2ex.(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x2cex.【解题提示】(1)利用导数求极值.(2)构造新函数,利用导数求最值.(3)对c分c1,0c1分类讨论或对x0取特殊值,然后求解.【规范解答】方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e
11、x-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln2.当xln2时,f(x)ln2时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由(1)得g(x)=f(x)f(ln2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.若0c1,要使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln
12、 k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h(x)=所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知kln k,kln2,5k0,所以h(x0)0.1c2x21.xx即存在x0=,当x(x0,+)时,恒有x2cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,exx2,所以ex=当xx0时,ex 因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.4,cxx2222xxee
13、()(),222222xx4 x1()()()x,22c 2c方法三:(1)同方法一.(2)同方法一.(3)首先证明当x(0,+)时,恒有 x30时,x2ex,从而h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递减,所以h(x)h(0)=-10,即 x3x0时,有 x2 x3ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20,即0 xe时,函数f(x)单调递增;当f(x)e时,函数f(x)单调递减,故函数f(x)的单调增区间为(0,e),单调减区间为(e,+).ln xx，21 ln x.x(2)因为e3,所以eln3eln,ln eln3,即ln3elne,ln eln3.于
14、是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即 lnln 3ln e.3e 由 得ln33;由 得ln3eln e3,所以3eln2-1且x0时,exx2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xR,f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)单调递减 2(1-ln 2+a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-,ln2),单调递增区间是(ln2,+),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR.于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln2-1时,g(x)的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增.于是当aln2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).又g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0.即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.
