1、北京市22中学20192020学年度第二次阶段性考试高三年级数学第卷一、选择题（共9个小题，每小题5分，共45分）1.集合，则=A. 1,2B. 0,1,2C. x|0x3D. x|0x3【答案】B【解析】【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果.【详解】因为，所以两集合的公共元素为0,1,2，=0,1,2，故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.对于任意实数给定下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若则D. 若则【答案】C【解析】试题分析
2、：若，取，则，故A错误；若，则，故B错误；若则，所以，故C正确；若取，则，故D错误故选C考点：不等式的性质点评：判断不等式是否成立，可通过取值进行排除3.已知命题，有成立，则为（ ）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以：，有成立.故选：C【点睛】本题主要考查含义量词的命题的否定，属于简单题.4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和单调性的性质对选项分别判断即可.【详解】对选项A，是奇函数，在定
3、义域上不是单调函数，故错误；对选项B，是奇函数，在定义域上单调递减，故正确；对选项C，是非奇非偶函数，故错误；对选项D，是非奇非偶函数，故错误.故选：B【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性，属于简单题.5.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么；其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用空间中线线、线面和面面间的位置关系对选项逐一分析即可.【详解】对，如果，那么和可能相交、平行或异面，故错误；对，如果，那么和可能平行或异面 ，故错误；对，如果，那么和可能相交、平行或者，故错误；对，如
4、果，由面面垂直的判断定理可得，故正确.故选：A【点睛】本题主要考查线线、线面和面面的空间关系，考查学生空间想象能力，属于基础题.6.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.7.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
5、】【详解】因为，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.8.设平面向量均为非零向量，则“”是“”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分又不必要条件【答案】B【解析】【详解】由得，可得，由可得，故是的必要而不充分条件，故选B考点：充分条件与必要条件的判定9.如图，已知在四棱锥中，底面是菱形,底面，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由已知，四边形ABCD的面积S=sin，由余弦定理可求得，所以，当cos=0，即=时，四棱锥V-AB
6、CD的体积V的最小值是，当cos=0，即=0时，四棱锥V-ABCD的体积V的最小值是，0P-ABCD的体积V的取值范围是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积第卷二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）10.复数.在复平面内对应点的坐标为_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再分别求出其对应点的坐标和模即可.【详解】由题意，所以在复平面内所对应点的坐标为，.故答案：；【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算、复数的几何意义和复数模的求解，属于基础题.11.若，且为第二象限，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由诱导公式化简即可求出
7、；再由平方关系求出，由诱导公式化简即可.【详解】由诱导公式可知，因为，所以；由，且为第二象限，解得，.故答案为：；【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数平方关系的应用，属于基础题.12.设，则_；若，则的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求，再求即可求出；分别求解时和时的取值范围，再求并集即可.【详解】由题意，所以；当时，单调递增，所以，即；当时，单调递增，所以，所以；综上，时，则的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题主要考查函数值的求法，指对函数的图像性质和分段函数的性质，属于基础题.13.已知函数的部分图象如图所示，则_，_.【答案】 (1). 2 (2). 【
8、解析】【分析】由图像得，再由对称轴和对称中心的距离为，可求出，由求解出；再由和求解出即可.【详解】由图像知，函数的最大值为2，又，所以，的一个对称轴为，一个对称中心为，所以，即，由，所以；则，又，所以，即，又，所以.故答案为：2；【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，考查学生数形结合的思想，属于中档题.14.已知向量，满足：，则与的夹角为_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设和的夹角为，利用数量积的定义求出，再展开求出，再求出；利用展开求解即可求得.【详解】设和的夹角为，则，所以，又，所以；故答案为：；【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算和向量模的求法，考查学生转化和
9、计算能力，属于基础题.15.设，分别是的边，上的点，若（，为实数），则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由向量的运算表示出，结合即可求出和.【详解】由题意，作图像如图所示，又，所以，.故答案为：；【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，属于基础题.16.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，当时，_，函数的单调递增区间为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】当时，由求解即可；根据函数定义求出的解析式，得到一个分段函数，利用指数函数的单调性即可求出的单调增区间.【详解】由题意，时，；当时，即，即，解得，同理，时，解得，或，所以，所以的
10、单调递增区间为.故答案：；【点睛】本题主要考查函数值的求解、分段函数的应用和指数函数的单调性，考查学生对题目的分析理解能力，属于中档题.17.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨【答案】30【解析】试题分析：本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.考点：函数的应用与基本不等式.三、解答题（共5题，每题13分，共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18.在锐角中，、分别为角、所对的边，且（）确定角的大小（）若，且的面积
11、为，求的值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）由正弦定理可知，所以；（2）由题意，得到试题解析：（），（），19.已知函数的最小正周期为（）求的值；（）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程【答案】（）；（）单调增区间为；单调减区间为；对称轴方程为.【解析】【详解】试题分析：（）,因为最小正周期为,可得, 可得,即可求出（）分别由，即可求出单调区间；再根据，可得图象的对称轴方程试题解析：解：（）,因为最小正周期为,所以，解得,所以,所以（）分别由，可得，所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为由得所以，图象的对称轴方程为考点：1三角函数的图象与性质；2三角恒等变换20.已知函数，函数.（1
12、）若，求的值；（2）求函数在区间上的最值并求出相应的的值.【答案】（1）；（2）时，；时，【解析】【分析】（1）由以及二倍角的余弦公式和诱导公式即可求出的值；（2）利用诱导公式和二倍角公式化简得到，再根据的范围求出的最大值和最小值即可.【详解】（1）由题意，由二倍角的余弦公式和诱导公式，所以；（2）由题意，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，当时，.【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式应用、余弦函数的性质，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.21.如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与面所成角的正弦值为？若存在
13、，求出此时的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存，理由见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，得是的中位线，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；（3）设点，表示出向量，由线面角的夹角公式求出的值即可判断.【详解】（1）如图，连接交于点，因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，点为的中点，又为中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为是直三棱柱，所以、两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，所以，易知平面的法向量，由二面角是锐角，所以，即二面角的余弦值为；
14、（3）设线段上存在点，则，由（2）知，平面平面的法向量，因为与面所成角的正弦值为，所以，解得，所以在线段上不存在点，使得与面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量法求二面角和线面角，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.22.将所有平面向量组成的集合记作，是从到的对应关系，记作或，其中、都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特殊值；（1）若，求；（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（3）若，要使有唯一的特征值，实数、应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：有唯一的特征值，并验证满足
15、这两个条件.【答案】(1) ；(2) 当时,;当时, .其中且；(3) ,证明见解析【解析】【分析】(1)由新定义得,再利用得即可.(2)由特征值的定义可得,由此可得的特征值,及相应的(3) 解方程组,再利用平行向量的方法求解证明即可.【详解】(1)由于此时,又因为是在的条件下,有,当时取最大值,所以此时有;(2)由,可得：,解此方程组可得：,从而.当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为 (写出一个即可),其中且.当时,同理可得,相应的 (写出一个即可),其中且 (3)解方程组,可得从而向量与平行,从而有、应满足：.当时,有唯一的特征值,且.具体证明为：由的定义可知：,所以为特征值.此时满足：,所以有唯一的特征值.在的条件下,从而有.【点睛】本题主要考查了新定义的内容,需要根据新定义的方法列出对应的关系式,再化简求解出对应的参数满足的条件进行分析.属于难题.
