1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、学习目标：掌握平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及平面上两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示，并能应用二、课前导学：(一)基础梳理：1ab|a|b|cos(为a、b的夹角)2ab的几何意义为：ab等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积或等于b的长度|b|与a在b上的投影的乘积3若i，j是平面直角坐标系xOy中分别与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且axiyj，则a的坐标为_答：(x，y)（二）预习1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.x1x2y1y2；它们对应坐标乘积的和即两个向量的数量积等于_2两个向量垂直
2、的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.x1x2y1y20（三）自测：1(2010年高考重庆卷)若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为()AB.C2 D6解析：选D.ab(3，m)(2，1)6m0，m6.2在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值为()A5 B5C. D解析：选A.(k,1)，(2,3)，(2,3)(k,1)(2k,2)C90，即0，2(2k)320.解得k5.3(2011年济宁市质量检测)已知a(2,2)，b(1，1)，则有()Aab BabCa与b夹角为60 Da与b夹角为30解析：选C.ab(2,2)(1，1)4
3、，|a|2，|b|2.cosa，b，a，b60.4已知向量a(x5,3)，b(2，x)且ab，则由x的值构成的集合是_解析：(x5)23x0，x2.答案：2三、合作探究：探究一、向量数量积的坐标运算找清向量的坐标表示，根据公式法则运算例1：已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.【思路分析】解答本题可根据a与b共线将a的坐标设出再利用数量积的坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求得(bc)a. 【解】(1)因为a与b同向，又b(1,2)，所以可设ab(，2)又因为ab10，所以12210，解得20.2符合a与b同向这一条件，a(2
4、,4)(2)bc122(1)0.(bc)a0a0.【思维总结】通过向量用坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系变式1、若本例条件不变，求(1)(ab)c；(2)(bc)a.解：(1)ab10，(ab)c10c10(2，1)(20，10)(2)(bc)abaca10(2，1)(2,4)104410.探究二、向量垂直的坐标形式的应用a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.例2、思路分析【思维总结】用坐标研究垂直，实现了几何与代数运算的转换*探究三、向量的夹角或模的问题例3、已知a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围变式：若本例中，a与b
5、的夹角为锐角或直角，试分别求的取值范围方法技巧3已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用如例2失误防范1区分开abx1y2x2y10与abx1x2y1y20，两者极易混淆2若ab0，其夹角为锐角或零角四、课堂小结 五、课外作业1已知a(3,4)，b(5,2)，则ab()A23 B7C23 D7解析：选D.ab35427.2(2010年高考安徽卷)设向量a(1,0)，b(，)，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab Dab与b垂直解析：选D.ab(1,0)(，)(，)(ab)
6、b(，)(，)0.(ab)b.3a、b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a与b的夹角的余弦值为()A. BC. D解析：选C.b(3,18)2a(3,18)(8,6)(5,12)，ab(4,3)(5,12)203616，|a|5，|b|13.cosa，b.4(2011年济南调研)已知向量m与向量n互相垂直且|m|n|，若m(2,1)，则n等于()A(1，2) B(2,1)C(2,1)或(2，1) D(1，2)或(1,2)解析：选D.设n(x，y)，由题意知解得或n(1，2)或(1,2)5已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_解析：a在b方向上的投影为：.答案
7、：6已知a(1，)，b(1，1)，则a与b的夹角是_解析：a(1，)，b(1，1)，ab(1)1(1)4，|a|2，|b|2.设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案：7已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)(1)试计算ab与|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解：(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1，1)b4e13e24(1,0)3(0,1)(4,3)得ab413(1)1，|ab|.(2)由ab|a|b|cos，得cos.*8已知a(，)，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解：法一：设向量b(x，y)，则ab(x，y)，ab(x，y)，由题意可知，0，|，则，解得或.所以b(，)或b(，)法二：设向量b(x，y)，依题意，0，|，则(ab)(ab)0，|ab|ab|，所以|a|b|1，ab0.所以向量b是与向量a互相垂直的单位向量即有，解得b(，)或b(，) .
