1、北京市科技大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一选择题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由复数在复平面内的坐标有 ，所以共轭复数 ，选A.2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件.3. 在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.4. 已知直线的方程为，则直线（ ）A. 恒过点且不垂直轴B. 恒过点且不垂直轴C. 恒过点且不垂直轴D. 恒过点且不垂直轴【答案】D【解析】【分析】根据直线方程的一般形式即可判断.【详解】，令，可得，直线恒过定点，令，则，直线不垂直轴.故选：D5. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，将问题转化为
3、求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6. 下列说法中，正确的是（ ）A. 过点且在轴截距相等的直线方程为B. 直线在轴上的截距为C. 直线的倾斜角为60D. 过点并且倾斜角为的直线方程
4、为【答案】B【解析】【分析】根据直线截距的概念、倾斜角与斜率之间的关系逐一判断即可.【详解】对于A，过点且在轴截距相等的直线方程为或，故A不正确；对于B，令，可得，所以在轴上的截距为，故B正确；对于C，则，所以直线的倾斜角为 ，故C不正确.对于D，过点并且倾斜角为的直线方程为，故D不正确.故选：B7. 已知（2，1，3），（1，2，3），（7，6，），若P，A，B，C四点共面，则（ ）A. 9B. 9C. 3D. 3【答案】B【解析】【分析】由已知可得共面，根据共面向量的基本定理，即可求解.【详解】由P，A，B，C四点共面，可得共面，解得.故选:B.【点睛】本题考查空间四点共面的充要条件以及平
5、面向量的基本定理，属于基础题.8. 点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取，中点，得平面平面.进而得到点的轨迹为线段，又因为为等腰三角形，进而便可得出答案.【详解】取，中点， 连接、 .则.又因为 .所以平面平面.又因为动点在正方形(包括边界)内运动，所以点的轨迹为线段.又因为正方体的棱长为2，所以， .所以为等腰三角形.故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为.当点为中点时，最小，最小值为 .故选：B. 【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力
6、，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点的位置.二填空题共6小题，每小题4分，共24分.9. 复数，则_.【答案】1【解析】试题分析：因为，所以.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10. 在平面直角坐标系中，已知点，若、三点共线，则_【答案】【解析】，、三点共线，可知，解得，解得则点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出的值，然后计算求得、，从而求得结果11. 过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程是_；【答案】或【解析】【分析】当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设出直线的方程，把点
7、代入即可得出【详解】当直线过原点时，直线斜率为，可得直线的方程为；当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得所以直线的方程为故答案为：或.12. 已知直线.（1）过点且与直线平行的直线方程_；（2）过点且与直线垂直的直线方程是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用两直线平行（或垂直），求出对应直线的斜率，利用点斜式即可求出对应直线的方程【详解】直线经过点，且与直线平行，则直线的斜率为；所以直线的方程为：，即；直线经过点，且与直线垂直，则直线的斜率为；所以直线的方程为：，即故答案为：，【点睛】对直线位置关系考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直
8、线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（）13. 在长方体中，点分别是的中点，则点到直线的距离为_.【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，2，1，1，点到直线的距离：点到直线的距离为故答案为：【点睛】空间向量解答立体几何问题一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理
9、结论求出相应的角和距离.14. 如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行.平面内不存在直线与平行；在平面内存在无数多条直线与平面平行；平面与平面的交线与底面不平行；上述命题中正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】利用反证法结合线面平行性质可判断的正误；设平面平面，且在平面中有无数条直线与直线平行，即可判断的正误；利用反证法与线面平行的性质可判断的正误.【详解】对于命题，设在平面内存在直线与平行，则平面，平面平面，平面，与已知条件矛盾，故正确；对于命题，设平面平面，则平面，所以，在平面内存在无数条直线与直线平行，这无数条直线与平面平行，故正确；对于命题，假设平面与平面的交线与底面平行
10、，平面，平面，平面平面，同理可得，与已知条件矛盾，故正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查线面平行的性质和判定的应用，考查空间想象能力与推理论证能力，属于中等题.三解答题(本大题共4小题，共52分)15. 已知三角形的顶点坐标为、，是边上的中点（1）求边所在的直线方程；（2）求中线的长；（3）若点A的直线与线段BC有公共点，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由斜率公式求得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（2）由中点坐标公式可得的中点，代入两点间距离公式可得答案（3）由斜率公式可得，从而可得答案.【详解】（1）由题意可得直线的斜率，故直线的
11、方程为：，化为一般式可得：；（2）由中点坐标公式可得的中点，故（3）由斜率公式可得，因为过点A的直线与线段BC有公共点，所以直线斜率的取值范围.【点睛】本题考查斜率公式的应用，直线的点斜式与一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）求点到
12、平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出方向向量及法向量，利用空间向量夹角公式即可得解（3）求出的坐标，再利用求解即可.【详解】（1）证明：，分别为，的中点，又在平面，在平面平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则，2，2，0，0，0，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为，则(3)求得因为平面的法向量，所以点到平面距离【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第
13、三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17. 如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得平面和垂直.分别为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，连结，推导出，从而平面，由此能证明（2）推导出，两两垂直，以为原点，、分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值【详解】（1）证明：取中点，连结，平面，平面，平面，（2）二面角是直二面角，两两垂直，以为原点，、分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，分别为，的
14、中点，设，是平面的一个法向量，令，得，1，平面，平面的一个法向量，0，设平面与平面所成的锐二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.18. 如图，在四棱锥中，平面，为中点，_.（1）求证：四边形是直角梯形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在一点F，使得
15、平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.从；平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】选择（1）由平面，可得，求解三角形得再由直线与平面垂直的判定可得平面，则进一步得到可得四边形是直角梯形（2）过作的垂线交于点以为坐标原点建立空间直角坐标系求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成的角的正弦值（3）设， 利用，可得选择（1）由平面，可得，求解三角形得再由直线与平面垂直的判定可得平面，则再由平面，得，则四边形是直角梯形（2）同；（3）同.【详解】选择（1）平面，又，得又，平面，则又，四边形是直角梯形（2）过作的垂线交于点平面，如图建立空间直角坐标系则，0，2，2，0，为的中点，设平面的法向量为，则，令，得设直线与平面所成的角为，直线与平面所成角的正弦值为（3）设， ，因为平面，所以，即，选择（1）平面，得，平面，则平面，平面，平面平面，则四边形是直角梯形（2）同；（3）同【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
