1、第二讲不等式1 不等式的基本性质(1)对称性：abbb，bcac.(3)加法法则：abacbc.(4)乘法法则：ab，c0acbc.ab，c0acb，cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n1)(8)开方法则：ab0(nN，n2)2 一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1x|xR且xR不等式ax2bxc0)的解集x|x1 x0，b0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”4 二元一次
2、不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值5 不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxA成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)minA在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)
3、A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.1 (2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|xlg 2答案D解析由已知条件010x，解得xlg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确3 (2013浙江)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.答案2解析作出可
4、行域如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意综上可知，k2.4 (2013湖南)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_答案12解析方法一(xyz)2x2y2z22xy2yz2zx3(x2y2z2)，a24b29c2(a2b3c)212.a24b29c2的最小值为12.方法二a2b3c6，1a12b13c6.由柯西不等式，可得(a24b29c2)
5、(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号5 (2013四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_答案x|7x3解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解集为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x3题型一不等式的解法例1(1)不等式0的解集为()A.B.C.1，)D.1，)(2
6、)(2012江苏)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_审题破题(1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；(2)已知二次不等式的解集，可以利用根与系数的关系答案(1)A(2)9解析(1)0等价于不等式组或解得x1，解得x，原不等式的解集为.(2)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0.若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案C解析pq为真命题，等价于p，q均为真命题命题p为真时，m0；命题q为真时
7、，m240，解得2m2.故pq为真时，2m0.(2)已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，对任意x1，x20，若x1x2，则3，那么x的取值范围为()A. B.C.(2，) D.答案B解析由已知可得当x0时，f(x)是减函数又f(x)为偶函数，f(x)f(|x|)由f(|x|)f，得|x|，x，x1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为()A(1,1) B(1，)C(1,3) D(3，)审题破题(1)将用坐标表示，转化为线性规划问题；(2)找到目标函数取最大值时经过可行域内的点，求出最大值，解关于m的不等式求得m的取值范围答案(1)C(2)A解析(1)作出可行域，如
8、图所示，由题意xy.设zxy，作l0：xy0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin110；过点(0,2)时z有最大值，zmax022，的取值范围是0,2(2)变形目标函数为yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示根据目标函数的几何意义，只有直线yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值，由得交点A，所以目标函数的最大值是2，即m22m10，解得1m0，b0，函数f(x)x2(aba4b)xab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为_(2)已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为()A1 B2 C3 D4审题破题
9、(1)由f(x)为偶函数得出a，b的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab乘积的不等关系，求ab乘积的最小值(2)求的最小值，即求的最大值答案(1)16(2)B解析(1)根据函数f(x)是偶函数可得aba4b0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由aba4b0，得aba4b4，解得ab16(当且仅当a8，b2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.(2)x0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，max2.的最小值为2.反思归纳在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即
10、条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件变式训练3设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.答案B解析因为3a3b3，所以ab1.(ab)222 4，当且仅当，即ab时“”成立典例(2012福建)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1 C. D2解析在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束
11、条件，故m的最大值为1.答案B得分技巧由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解阅卷老师提醒本题要正确理解“存在”这个关键词，只要函数y2x和可行域有公共点即可1 (2013湖北)已知全集为R，集合A，B，则ARB等于()Ax|x0Bx|2x4Cx|0x4Dx|04或x2x|0x42 已知log (xy4)log (3xy2)，若xy2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1C3 D4答案C解析x2，f(x)xx22224，当且仅当x2，即x3时，即a3，f(x)min4.4 (2012陕西)小王从甲地到乙
12、地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv答案A解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.5 若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_答案解析a对任意x0恒成立，设ux3，只需a恒成立即可x0，u5(当且仅当x1时取等号)由u5知0，a.6 如果实数x，y满足等式(x2)2y21，那么的取值范围是_答案解析设k，则ykx(k3)表示经过点P(1，3)的直线，k为直线的斜率所以求的取值范围就等价于求同时经过点P(1，3)和圆上的点的直线中斜率的最大、最小值从图中可知：当过P的直线与圆相切时斜率取最大、最小值，此时对应的直线斜率分别为kPB和k
13、PA，其中kPB不存在，由圆心C(2,0)到直线ykx(k3)的距离r1，解得k，所以的取值范围是.专题限时规范训练一、选择题1 设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab Dab答案B解析0aa，又，所以a0，b0，且2ab4，则的最小值为()A B4 C D2答案C解析由2ab4，得24，即ab2，又a0，b0，所以，当且仅当2ab，即b2，a1时，取得最小值.故选C.3 在R上定义运算a*ba(1b)，则满足(x2)*(x2)0的实数x的取值范围为()A(0,2) B(2,1)C(，2)(1，) D(1,2)答案D解析根据定义：(x2)*(x2)(x2)1(x2)(x2)(
14、x1)0，即(x2)(x1)0.解得1x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是()Am4或m2 Bm2或m4C2m4 D4m0，y0，所以28.要使原不等式恒成立，只需m22m8，解得4m2.6 已知函数f(x)， 则ff(x)1的充要条件是()Ax(，Bx4，)Cx(，14，)Dx(，4，)答案D解析当x0时，ff(x)1，所以x4；当x2)，nx2(x)，则m与n之间的大小关系为()AmnCmn Dmn答案C解析ma(a2)24(a2)，当且仅当a3时，等号成立由x得x2，nx24即n(0,4，mn.8 设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最
15、小值为()A. B.C. D4答案A解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6，所以()()2，故选A.二、填空题9 若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解析x0，y0,2xy6xy，26xy，即xy260，解得xy18.10(2013陕西)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_答案4解析如图，曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x
16、，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(1,2)时，z取得最小值，此时z2(1)24.11若关于x的不等式(2x1)2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_答案解析因为不等式等价于(a4)x24x10，且有4a0，故0a4，不等式的解集为x，则一定有1,2,3为所求的整数解集所以34，解得a的范围为.12当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立mk的解集为x|x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k
17、0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)x0，f(x).由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t.即t的取值范围为.14(2012江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2 (k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标
