1、1.2命题及充要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x30，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的_条件答案充要解析因为Ax|x20x|x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)
2、即ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 4已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件答案充分而不必要解析a3时A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.所以a3是AB的充分而不必要条件5设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的_条件答案充分而不必要解析由条件推结论和结论推条件后再判断若0，则f(x)cos x是偶函数，但是若f(x)cos(x) (xR)是偶函数，则也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题及真假判断例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)已知a，b，c，d是实数，若a
3、b，cd，则acbd；(2)已知a，b，cR，若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根思维启迪认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题和逆否命题，最后判断真假解(1)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab，cd，是假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若ab或cd，则acbd，是假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab或cd，是真命题(2)逆命题：已知a，b，cR，若ax2bxc0有两个不相等的实数根，则ac0.否命题：已知a，b，cR，若ac0，则ax2bxc0没有两个不相等的实数根，是假命题逆否命题：a，b，cR，若ax2bxc0没有
4、两个不相等的实数根，则ac0，是真命题思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例有下列四个命题：若“xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；若“m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为_(填序号)答案解析的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；的逆否命题：“若x22x
5、m0没有实数解，则m1”是真命题；命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是_(填序号)p：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；p：cos cos ；q：tan tan ；p：ABA；q：AU，BU，UBUA.思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案解析对于，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件；对于，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1
6、，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的只有.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”
7、是“xy1”的何种条件用“充分不必要”“必要不充分”“充要”和“既不充分也不必要”填空(1)已知m，nR，则“m0”是“mn0”的_条件；(2)“”是“tan tan ”的_条件；(3)“a0”是“方程ax22x10至少有一个负数根”的_条件；(4)“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的_条件；(5)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b”的_条件答案(1)既不充分也不必要(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)充要(5)必要不充分解析(1)当n0mn0，反之，n0m0，得a1时方程有根a0时，x1x20(1)若m1，则p是q的什么条件？(2)若p是q的充分不
8、必要条件，求实数m的取值范围思维启迪问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；问题(2)考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m的取值范围解(1)因为p：x|2x10，q：x|1mx1m，m0x|0x2，显然x|0x2x|2x10，所以p是q的必要不充分条件(2)由(1)，知p：x|2x10，因为p是q的充分不必要条件，所以解得m9，即m9，)思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关
9、系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“x1，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0a.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(14分)已知集合Ay|yx2x1，x，2，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围思维启迪(1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关
10、系列出关于m的不等式，求出实数m的范围规范解答解化简集合A，由yx2x1.配方，得y2.x，ymin，ymax2.y.A.4分化简集合B，由xm21，得x1m2，Bx|x1m26分命题p是命题q的充分条件，AB.8分1m2，解得m，或m.12分实数m的取值范围是.14分温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题
11、及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充要条件失误与防范1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若
12、p则q”的形式3判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.A组专项基础训练 (时间：25分钟)1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_答案若一个数的平方是正数，则它是负数解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数2下列命题中为真命题的序号为_命题“若xy，则x|y|”的逆命题；命题“若x1，则x21”的否命题；命题“若x1，则x2x20”的否命题；命题“若x20，则x1”的逆否命题答案解析对于，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x
13、2251；对于，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，x2x20，所以是假命题；对于，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故只有正确3已知集合Mx|0x1，集合Nx|2x0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_答案3,0解析ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得，解得3a0，故3a0.8“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题9“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的_条件答案充分不必要解析若a(x2,1)与b(2,2x)共线
14、，则有(x2)(2x)2，解得x，所以“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的充分不必要条件10若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，x|x22x30x|x3，或，0m2.B组专项能力提升(时间：25分钟) 1若集合Ax|2x3，Bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“AB”的_条件答案充分不必要解析当a1时，Bx|2x1，满足AB；反之，若AB，只需a2即可，故“a1”是“AB”的充分不必要条件2 “0，即2n12对任意的nN*都成立，于是可得32，即.注意到由1可得；但反过来，由不能得到1，故“1”
15、是“数列ann22n(nN*)是递增数列”的充分不必要条件3“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件答案充分不必要解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件4已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1x3，即m2.5下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b
16、不全为零”的充要条件其中正确命题的序号是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由a2b20可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2b20，所以不正确，正确6设集合A、B，有下列四个命题：AB对任意xA都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.其中假命题的序号是_答案解析不正确，如A1,2,3，B2,3,4有AB但2A且2B.不正确，如A1,2，B2,3有AB但AB2不正确，如A1,2，B2有AB但BA.正确7下列命题：若ac2bc2，则
17、ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_答案解析对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150D/30150，所以错误；对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以正确；对于显然正确8已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案解析由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1m.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得a，所以实数a的取值范围是.9已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解由题意得p：2x32，1x5.綈p：x5.q：m1xm1，綈q：xm1.又綈p是綈q的充分而不必要条件，或，解得2m4或2m4，2m4.
