1、2.3函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.判断下面结论是否正确(请在括
2、号中打“”或“”)(1)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数.()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称.()(4)若函数f(x)为奇函数，则a2.()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.()(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0.()2.(2013山东改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于_.答案2解析f(1)f(1)(11)2.3.已知f(x)a
3、x2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_.答案解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.4.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)等于_.答案2解析f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 015)f(50343)f(3)f(1).又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_.答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(1
4、,0)(1，).题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).思维启迪判断函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立.解(1)由，得x3.f(x)的定义域为3,3，关于原点对称.又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x).f(x)既是奇函数，又是偶函数.(2)由，得10时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x).故该函数为奇函数.题型二函数周期性的
5、应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.思维启迪(1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和.(2)通过题意先确定函数的周期性.答案(1)336(2)2.5 解析(1)利用函数的 周期性和函数值的求法求解.f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)
6、0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1， f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x).故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思维
7、升华(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.(2)求函数周期的方法若函数满足f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函数的一个周期若函数满足f(xa)f(1,f(x)，则f(x2a)f(xa)af(1,f(xa)f(x)，所以2a是函数的一个周期(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于_.(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f等于_.答案(1)1(2)解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f
8、(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1.(2)f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间.思维启迪可以先确定函数的周期性，求f()；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间.解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4
9、)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ)，单调递减区间为4k1,4k3 (kZ).思维升华关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想.(1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足
10、f(2x1)f的x的取值范围是_.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数.若af(25)，bf(11)，cf(80).则a、b、c的大小关系为_.答案(1)(2)acb解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)ff(|2x1|)f，进而转化为不等式|2x1|，解这个不等式即得x的取值范围是.(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)
11、f(0)，故f(25)f(80)f(11)，即ac0，且a1).若g(2)a，则f(2)等于_.答案解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2.5.若f(x)是奇函数，且在(0，)上递增，且f(3)0，则xf(x)0的解集是_.答案(3,0)(0,3)解析结合f(x)的草图即可.6.若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.7.
12、已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 015)_.答案解析方法一令x1，y0时，4f(1)f(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1时，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1时，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6为周期的函数，f(2 015)f(33565)f(5).方法二f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 015)cos.二、解答题8.已知函数
13、f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称.(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式.(1)证明由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x).故f(x2)f(x).从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x).x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数
14、f(x).9.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增.结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3.10.已知定义域为R的函数f(x)是奇函数.(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.解(1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R
15、，所以f(0)0，即0，解得b1.从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验适合题意，a2，b1.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0.从而判别式412k0，解得k.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.已知奇函数f(x)在定义域(1,1)内是减函数，则满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围为_.答案(0,1)解析f(1m)f(1m2)，即f(1m)f(m21)，于是解得0m1.2.已知f(x)是奇函数，且f(2)，则f(x)
16、的解析式为_.答案f(x)解析因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)0，得0，得q0，由f(2)得，得p2，则f(x).3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为_.答案0解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)
17、0.4.设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_.答案1a解析函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1).由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1，解得1a.5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)
18、的周期，故正确；当x0,1时，f(x)2x是增函数，则f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；在区间1,1上，f(x)的最大值为f(1)f(1)2，f(x)的最小值为f(0)1，故错误.6.已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x，1上恒成立，求实数a的取值范围.解由于f(x)为偶函数，且在0，)上为增函数，则在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则|ax1|x2|.又x，1，故|x2|2x，即x2ax12x.1a1在，1上恒成立.(1)min0，(1)max2，2a0
19、.7.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0. (2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数.(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16).又f(x)在(0，)上是增函数.0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1.
