1、山东省潍坊市安丘市实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）1.已知角的终边经过点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义，求出，即可得到的值【详解】因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题2.设两个单位向量的夹角为，则（ ）A. 1B. C. D. 7【答案】B【解析】【分析】由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解.【详解】，即.故选：B【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.3.在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】C【解析】【分析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得： 本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.4.已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用已知条件推出x+y1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：则xy的取值范围是
3、：故选D【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力5.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】A【解析】【分析】首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.【详解】由函数的解析式可得：，函数为奇函数，则当时：.令可得.因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为结合最小正周期公式可得：，解得：.故函数的解析式为：.当时，函数在所给区间内单调递减；当时，函数在所给
4、区间内不具有单调性；据此可知，只有选项A的说法正确.故选A.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在中，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.【详解】为中点 和为等腰三角形，同理可得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知
5、模长的向量的运算.7.在中，角，所对的边为，且为锐角，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案【详解】由于，有正弦定理可得： ，即由于在中，所以，联立 ，解得：，由于为锐角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题8.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量
6、的数量积的运算，求得最小值，即可求解.【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，所以当时，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、多选题9.已知，如下四个结论正确的是（ ）A. ；B. 四边形为平行四边形；C. 与夹角的余弦值为；D. 【答案】BD【解析】【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.【详解】由，所以， ,对于A，故A错误；对于B，由，则，即与平行且相等，故B正确； 对于C，故C错误；对于D，故
7、D正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.10.下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. E. 【答案】BCE【解析】【分析】利用二倍角公式计算可得.【详解】解：不符合，；符合，；符合，；不符合，；符合，故选：【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）A. 若，则一定是等边三角形B. 若，则一定是等腰三角形C. 若，则一定是等腰三角形D. 若，则一定是锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定
8、理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；由正弦定理可得，或，是等腰或直角三角形，不正确；由正弦定理可得，即，则等腰三角形，正确；由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知
9、其为钝角三角形.12.已知函数，则下面结论正确的是（）A. 为偶函数B. 的最小正周期为C. 的最大值为2D. 在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】首先将化简为，选项A，的定义域为，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。【详解】，选项A，的定义域为，故A正确。B选项，的最小正周期为，故B正确。C选项，故C不正确。D选项， 由的图像， 由图可知：在上单调递增，故D正确。故选ABD【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。三、填空题13.在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为_.【答案】【解析】本题考查了三角恒
10、等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简已知条件，求得值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含的式子，由此求得表达式的值.【详解】由得，故.所以，分子分母同时除以得.故答案为.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.【详解】因
11、为对任意成立，所以取最小值，取最大值；取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为_【答案】【解析】【分析】根据题意得到，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，.，向量与的夹角为.故答案为.【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的
12、投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.四、解答题17.设两个非零向量与不共线，（1）若，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.【详解】（1）证明：因为，所以.所以共线，又因为它们有公共点，所以三点共线.（2）因为与同向，所以存在实数，使，即.所以.因为是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为，所以.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的
13、向量证明方法应用，属于基础题.18.在中，角，的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，边上的中线，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）对题中等式应用正弦定理化简后即可求出角；（2）首先根据余弦定理和中线求出边，再根据三角形面积公式求出三角形面积即可.【详解】（1），由正弦定理得：，即，又，又，所以；（2）由，知，在中，由余弦定理得，解得，故，.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理余弦定理求解三角形，属于基础题.19.在中，角，的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）已知，且的外接圆的半径为，若，求的值.【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）化简得到，根据余弦定理计算得
14、到答案.（2）根据正弦定理得到，再利用余弦定理得到，联立方程得到，再利用余弦定理得到答案.【详解】（1），由余弦定理可得，.（2），外接圆的半径为，由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得：，解得：，联立可得：，或，由，可得，.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.设向量，其中，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.（1）求函数的表达式；（2）在中，角，的对边分别是，若，且，求边长.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1），根据周期得到，代入点得到，得到解析式.（2）解得，根据得
15、到，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）因为，由题意，将点代入，得，所以，又因，即函数的表达式为.（2）由，即，又，由，知，所以，由余弦定理知，所以.【点睛】本题考查了向量的数量积，三角函数解析式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知两个不共线的向量，满足，.（1）若，求角值；（2）若与垂直，求的值；（3）当时，存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据向量平行得到，解得答案.（2）根据向量垂直得到，故，得到答案.（3）化简得到，由得，故，解得答案.【详解】（1），故，故角的集合为. （2）由条件知，又与垂直，
16、所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，所以.由得，又要有两解，故，即，又因为，所以.即的范围.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，根据向量垂直求模，方程解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.22.已知，且，其中.(1)若与的夹角为60，求k的值；(2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)由两边平方得，展开即可求出k的值；(2)根据，可求出，再将变形为，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围【详解】(1) 由得，因为，所以，即，解得(2)由(1)可知，所以，变形为，设，所以对任意的恒成立，即有， ，解得 【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题
