1、学案48直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_、_、_.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：代数法：利用判别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式b24ac几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr_.2圆的切线方程若圆的方程为x2y2r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2y2r2相切的切线方程为_注：点P必须在圆x2y2r2上经过圆(x
2、a)2(yb)2r2上点P(x0，y0)的切线方程为_3计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB|xAxB|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：_、_、_、_、_.判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1r2)，则O1O2r1r2_；O1O2r1r2_；|r1r2|O1O2r1r2_；O1O2|r1r2|_；0|O1O2|0)的公共弦的长为2，则a_.6已知点A是圆C：x2
3、y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点也在圆C上，则实数a_.7设直线3x4y50与圆C1：x2y24交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是_8(2010全国改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为_二、解答题(共42分)9(14分)圆x2y28内一点P(1,2)，过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点(1)当时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程10(14分)自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直
4、线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程11(14分)已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长学案48直线、圆的位置关系答案自主梳理1相切相交相离相交相切相离相交相切相离2.x0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)外离外切相交内切内含外离外切相交内切内含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我检测1.2.xy203.24.25xy30课堂活动区例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有
5、2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则PM.解(1)将圆C配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由，解得k2，得y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直线方程为xy10，或xy30.综上，圆的切线方程为y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由POPM，得xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y
6、130.即点P在直线l：2x4y30上当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OPl，直线OP的方程为2xy0.解方程组得点P的坐标为.变式迁移1解设圆切线方程为y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一条斜率不存在，方程为x2.切线方程为x2和3x4y60.圆心C为(1,1)，kPC2，过两切点的直线斜率为，又x2与圆交于(2,1)，过切点的直线为x2y40.例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.方法一代数法：弦长AB|x2x1|；方法二几何法：弦长AB2.(2)有关弦的中点问题
7、：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系解(1)如图所示，AB4，取AB的中点D，连结CD，则CDAB，连结AC、BC，则AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式，得2，解得k.当k时，直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为3x4y200或x0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.变式迁移2(1)
8、证明由kxy4k30，得(x4)ky30.直线kxy4k30过定点P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直线和圆总有两个不同的交点(2)解kPC1.可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y3x4，即xy10.PC，AB22.例3解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1与C2外切，则有32.(m
9、1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1与C2内含，则有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，当m5或m2时，圆C1与圆C2外切；当2m0，b26b90，解得33b0.即直线AB的方程为xy40，或xy10.变式迁移4解(1)直线l过点A(0,1)且斜率为k，直线l的方程为ykx1.将其代入圆C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)24(1k2)70，得k.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(经检验符合题意)，k1.课后练习区1相交2
10、.3或32解析如图所示，x2y24y0x2(y2)24，A(0,2)，OA2，A到直线l：yx的距离是AN1，ON，弦长OJ2.4(4,6)5.16.1071解析圆C1的圆心C1(0,0)到直线3x4y50的距离为1，圆C1的半径为2，弧上的点到直线3x4y50距离最大为211，因此圆C2的半径最大为1.832解析设APB2，则APOBPO，()2cos 2cos 2(12sin2)2sin2323，当且仅当2sin2，即sin2时取等号9解(1)当时，kAB1，直线AB的方程为y2(x1)，即xy10.(3分)故圆心(0,0)到AB的距离d，从而弦长AB2 .(7分)(2)设A(x1，y1)
11、，B(x2，y2)，则x1x22，y1y24.由两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(12分)直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.(14分)10.解已知圆C：x2y24x4y70关于x轴对称的圆为C1：(x2)2(y2)21，其圆心C1的坐标为(2，2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切(4分)设l的方程为y3k(x3)，则1，(10分)即12k225k120.k1，k2.则l的方程为4x3y30或3x4y30.(14分)11解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离，故只有5.解得m2510.(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2 2.(14分)
