1、2019北京四中高一(上)期中数学卷(I)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1.已知全集U1，2，3，4，5，集合A1，3，B3，4，5，则集合AB（）A. 2，3，4，5B. 3C. 1，4，5D. 1，3，4，5【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解.【详解】因为集合A1，3，B3，4，5，所以AB3.故选：B【点睛】本题主要考查交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.函数的定义域是（）A. RB. x|x2C. x|x1D. x|x1且x2【答案】D【解析】【分析】由题得，解不等式即得解.【详解】由题得，解之得且，所以函数的定义域为x|x1且x2.
2、故选：D【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若ab，则下列各式中正确的是（）A. acbcB. ac2bc2C. a+c2b+c2D. 【答案】C【解析】【分析】A. 时显然不成立；B.时，显然不成立C.利用不等式的加法法则可以证明是正确的；D.利用作差法证明是错误的.【详解】A. acbc，时显然不成立；B.ac2bc2,时，不成立；C. a+c2b+c2，利用不等式的加法法则可以证明是正确的；D. ，符号不能确定，是错误的.故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和作差法比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.下列函数中，在区间（0，
3、+）上为减函数的是（）A. yx22xB. y|x|C. y2x+1D. 【答案】D【解析】【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. yx22x,函数的减区间为，所以选项A不符；B. y|x|，函数的减区间为，所以选项B不符；C.y2x+1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C不符；D. ，函数的减区间为（0，+），所以选项D符合.故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.命题“xR，x3x2+10”的否定是（）A. xR，x3x2+10B. xR，x3x2+10C. xR，x3x2+10D. xR，x3x2+10【答案
4、】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定解答即可.【详解】命题“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.下列函数中：yx2+1偶函数的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性的判断方法对每一函数进行判断得解.【详解】,定义域是，满足，所以函数是奇函数，所以与题不符；，定义域是，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，与题不符；yx2+1，定义域是R，满足，所以函数是偶函数，所以与题相符；，定义域是，满足，所以函数是偶函数，所以与题相符.故选：C【
5、点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.“”是“”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：,所以“”是“”的充分而不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断8.函数f（x）x32x3一定存在零点的区间是（）A. （2，+）B. （1，2）C. （0，1）D. （1，0）【答案】B【解析】【分析】求出，即得解.【详解】由题得，所以，因为函数是R上的连续函数，故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.下列函数中，满足f（2x）2
6、f（x）的是（）A. f（x）（x+2）2B. f（x）x+1C. D. f（x）x|x|【答案】D【解析】【分析】对每一个选项的函数逐一验证即得解.【详解】A. f（x）（x+2）2,所以，所以不满足满足f（2x）2f（x）；B. f（x）x+1，所以；C. ，所以；D. f（x）x|x|，所以，满足f（2x）2f（x）.故选：D【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，由即，即函数的零点，故选C考点：函数的图像【此处
7、有视频，请去附件查看】二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11.设全集UR，集合Ax|0x2，B3，1，1，3，则集合（UA）B_【答案】3，1，3【解析】【分析】先求出UA，再求（UA）B得解.【详解】全集UR，集合Ax|0x2，B3，1，1，3，则集合UAx|x0或x2，所以集合（UA）B3，1，3故答案为：3，1，3【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知，则f（f（1）的值为_【答案】5【解析】【分析】先求的值，再求f（f（1）的值.【详解】根据题意，则f（1）3（1）23，则f（f（1）f（3）2315.故答案为：5【点睛
8、】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.13.函数yx2+3x1，x2，3的值域是_【答案】，17【解析】【分析】直接利用二次函数的图象和性质求解.【详解】因为yx2+3x1，所以函数对称轴为，因为x2，3，所以当x时，y的值最小为，当x3时，y的值最大为32+9117，所以函数的值域为，17故答案为：，17【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若x0，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式求函数的最小值.【详解】x0，4x2（当且仅当4x即x时，取“”号），当x时，f（x）最小值为故答案为：【点
9、睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若二次函数f（x）的图象关于x2对称，且f（a）f（0）f（1），则实数a的取值范围是_【答案】a0或a4【解析】【分析】分析得到二次函数f（x）开口向下，在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减再对分类讨论得解.【详解】由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x2，因为f（0）f（1），所以f（x）在（，2）上单调递增，所以二次函数f（x）开口向下，在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减当a时：，解得a0当a（2，+）时：因为f（4）f（0），所以，解得a4综上所求：a0或a4故答案为：a0或a4【点睛】本题
10、主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数最小值为_【答案】 (1). 6 (2). 12【解析】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.，【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.三.解答题：本大题共3小题，共30分
11、17.设集合Ax|x22x30，Bx|x2+4x+30，Cx|2k1x2k+3（1）求AB；（2）若CAB，求实数k的取值范围【答案】(1) ABx|x1或x3；(2) k2或k2【解析】【分析】（1）先化简集合A和B,再求AB；（2）由题得2k13或2k+31，解不等式得解.【详解】（1）集合Ax|x22x30x|x1或x3，Bx|x2+4x+30x|3x1，则ABx|x1或x3；（2）由Cx|2k1x2k+3，且CAB，令2k13或2k+31，解得k2或k2，所以实数k的取值范围是k2或k2【点睛】本题主要考查集合的并集运算和集合关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知a，b
12、0，证明：a3+b3a2b+ab2【答案】证明见解析【解析】【分析】利用作差比较法证明不等式.【详解】证明：（a3+b3）（a2b+ab2）a2（ab）+b2（ba）（ab）（a2b2）（ab）2（a+b）a0，b0，a+b0，（ab）20，（ab）2（a+b）0，则有a3+b3a2b+b2a【点睛】本题主要考查比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数f（x）（aR，a0）（1）当a1时，解关于x不等式f（x）0；（2）若f（x）+g（x）0在（0，+）上恒成立，求a的取值范围【答案】(1) x|0x2；(2) （，0），+）【解析】【分析】(1)等价于不等式，解
13、之即得解；（2）等价于在（0，+）上恒成立，再利用基本不等式求函数的最小值即得解.【详解】（1）当a1时，f（x）f（x）0，0x2，不等式的解集为x|0x2；（2）f（x）+g（x），f（x）+g（x）0在（0，+）上恒成立，在（0，+）上恒成立，只需当x0时，当且仅当x1时取等号，a0或a，a的取值范围为（，0），+）【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求最值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.卷(II)二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20.已知集合M0，1，2，3，Nx|x2a，aM，则集合MN_【答案】0，2【解析】【分析】先求出
14、集合N，再求MN.【详解】M0，1，2，3，N0，2，4，6，MN0，2故答案为：0，2【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.不等式的解集为 【答案】【解析】略22.已知xyz，x+y+z0，则xzyzxyyzxyxzx|y|z|y|四个式子中正确的是_（只填写序号）【答案】【解析】【分析】由题得有三种可能（1）x0，y0，z0，（2）x0，y0，z0，（3）x+z0，y0再判断得解.【详解】已知xyz，x+y+z0，则有三种可能（1）x0，y0，z0，（2）x0，y0，z0，（3）x+z0，y0所以xzyz正确xyyz不正确xyxz正确x|y|z|y
15、|不正确故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23.设（1）当时，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）最小值，则a的取值范围是_【答案】 (1). (2). 0，【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a0，不满足条件若a0，f（0）a22，即0a，即得解.【详解】（1）当时，当x0时，f（x）（x）2（）2，当x0时，f（x）x22，当且仅当x1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x0时，函数f（x）2，此时的最小值为2，若a0，则当xa时，函数f（x）的最小值为f（
16、a）0，此时f（0）不是最小值，不满足条件若a0，则当x0时，函数f（x）（xa）2为减函数，则当x0时，函数f（x）的最小值为f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）a22，即0a，即实数a的取值范围是0，【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24.已知集合MxN|1x15，集合A1，A2，A3满足每个集合都恰有5个元素； A1A2A3M集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_【答案】96【解析】【分析】对分三种情况讨论，求出
17、X1+X2+X3取最小值39，X1+X2+X3取最大57，即得解.【详解】由题意集合MxN*|1x151，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，当A11，4，5，6，7，A23，12，13，14，15，A32，8，9，10，11时，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X38+18+1339，当A11，4，5，6，15，A22，7，8，9，14，A33，10，11，12，13时，X1+X2+X316+16+1648，当A11，2，3，4，15，A25，6，7，8，14，A39，10，11，12，13时，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X316+19+2257
18、，X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+5796【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三.解答题：本大题共2小题，共20分25.已知函数f（x）x2+a|x1|（1）当a2时，解方程f（x）2；（2）若f（x）在0，+）上单调递增，求实数a的取值范围【答案】(1) x0或(2) 2，0【解析】【分析】（1）即解方程x2+2|x1|2对分类讨论即得方程的解；（2）对分x1和0x1两种情况讨论得解.【详解】（1）当a2时，f（x）x2+2|x1|2当x1时，x2+2（1x）2，x22x0，得x0；当x1时，x2+2（x1）2，x2+2x40，得综
19、上，方程f（x）2的解为x0或（2）x1时，f（x）x2+a（x1）x2+axa在1，+）上单调递增，则，故a2；0x1时，f（x）x2ax+a，故a0且1a+a1+aa恒成立综上，实数a的取值范围是2，0【点睛】本题主要考查绝对值方程的解法，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26.设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）bx2+cx+d，g（x）ax3+bx2+cx+d若f（x），g（x）满足f（x）有零点；f（x）的零点均为g（f（x）的零点；g（f（x）的零点均为f（x）的零点则称f（x），g（x）为一对“K函数”（1）当acd1，b0时，验证f（x），g（x
20、）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a1，f（1）0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围【答案】(1) 不是一对“K函数”，理由见解析；(2) d0 (3) c0，）【解析】【分析】(1)检验得此时不满足，所以不是一对“K函数”；（2）利用“K函数”的定义求出；（3）换元法，设tcx（x1），根据t的范围，对g（f（x）讨论，求出c的范围.【详解】（1）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，由f（x）x+10，得x1，所以g（f（1）g（0）1，故x1不是g（f（x）的零点，故不满足，所以不是一对“K函数”
21、，（2）设r为方程的一个根，即f（r）0，则由题设得g（f（r）0于是，g（0）g（f（r）0，即g（0）d0所以d0，反之g（f（x）f（x）f4（x）+bf（x）+cf（x）0，则f（x）0成立，故d0；（3）因为d0，由a1，f（1）0得bc，所以f（x）bx2+cxcx（x1），g（f（x）f（x）f2（x）cf（x）+c，由f（x）0得x0，1，可以推得g（f（x）0，根据题意，g（f（x）的零点均为f（x）的零点，故f2（x）cf（x）+c0必然无实数根设tcx（x1），则t2ct+c0无实数根，当c0时，tc（x）2，h（t）t2ct+c（t）2+c，所以h（t）minh（）0，即，解得c（0，），当c0时，tc（x）2，h（t）t2ct+c（t）2+c，所以h（t）minh（）0，即c，解得c（0，4），因为c0，显然不成立，当c0时，b0，此时f（x）0在R上恒成立，g（f（x）c0也恒成立，综上：c0，）【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查求参数的值和范围，考查了二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，难度较大.
