1、20192020学年度第二学期监测高二数学本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据极限的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查极限的运算，属于基础题型.2.若，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式，求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以有，即，解得：.故选：C.【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可
2、，属于基础题型.3.一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（ ）A. 3B. 7C. 6D. 1【答案】D【解析】【分析】求出即可求出物体在时的瞬时速度.【详解】解：，当时，.故选:D.【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.4.函数有（ ）A. 极大值6，极小值2B. 极大值2，极小值6C. 极小值1，极大值2D. 极小值2，极大值8【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，令其为0，解出方程后则可判断函数及导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.【详解】解：令，解得，则随的变化如下表 所以，当时，函数有极大值为；当时，函数
3、有极小值为.故选:A.【点睛】本题考查了函数极值的求解.一般求函数的导数时，求出导数后，令导数为0，解出方程后，画表探究函数、导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.5.已知函数与的图象如图所示，则不等式组解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数与原函数单调性关系确定与的图象，然后可得结论【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是的图象，虚线是的图象，不等式组解集是故选：B【点睛】本题考查导函数与函数单调性的关系，属于基础题6.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ）A
4、. 420B. 660C. 840D. 880【答案】B【解析】【分析】利用间接法可得答案.【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有种选法，其中不含女生的有种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.故选：B【点睛】本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题.7.设，离散型随机变量的分布列是012则当在内增大时（ ）A. 增大B. 减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】D【解析】【分析】根据方差公式计算出方差后，利用二次函数的单调性可得答案.【详解】，所以，所以在上增大，在上减小，即先增大后减小.故选：D
5、【点睛】本题考查了离散型随机变量方差公式，以及二次函数的单调性，属于基础题.8.已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.关于的说法，正确的是（
6、）A. 展开式中的二项式系数之和为2048B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最大【答案】AC【解析】【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确，不正确，正确，根据项的系数的符号可知不正确.【详解】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.故选：AC【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.10.已知函数，
7、则（ ）A. 函数一定存在最值B. ，C. 若是的极值点，则D. 若是的极小值点，则在区间单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据时，当时，可判断不正确；再结合图象的连续性可判断正确；根据可导函数在极值点处的导数值为零，可判断正确；根据三次函数的单调性可知，不正确.【详解】，当时，当时，所以函数无最值，故不正确；又函数图象是连续不断的，所以函数图象与轴有交点，所以，使，所以正确；因为是的极值点，且函数是可导函数，所以，故正确；因为是的极小值点，则在区间上先递增，再递减，故不正确.故选：BC【点睛】本题考查了三次函数的图象和性质，考查了函数的极值点，属于基础题.11.甲、乙两类水果的质量（单位：
8、kg）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 乙类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】ABC【解析】【分析】利用正态分布的性质，逐一进行判断即可.【详解】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称所以，故A，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为，即，所以，故D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于中档题.12.已
9、知函数，则以下结论正确的是（ ）A. 函数的单调减区间是B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若则【答案】ABD【解析】【分析】A选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A；B选项，令，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B；C选项，先由得到，令，用导数的方法判断其单调性，即可判定C；D选项，令，则，令，对其求导，判定其单调性，得到，令，根据题中条件，即可判定出D.【详解】A选项，因为，所以，由得，；由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；B选项，令，则显然恒成立；所以函数在上单调递减；又，所以函数有且仅有一个零点；故B正确；C选项
10、，若，可得，令，则，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，所以函数无最小值；因此，不存在正实数，使得成立；故C错；D选项，令，则，则；令，则，所以在上单调递减，则，即，令，由，得，则，当时，显然成立，所以对任意两个正实数，且，若则.故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线yx2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】首先求处的导数，再根据切线公式求切线方程.【详解】解析：，在点（1
11、，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为_.（用数字作答）【答案】24【解析】【分析】由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.【详解】解：由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有，故答案为：24【点睛】本题考查了分步计数原理的应用，主要抓住能被5整除的整数的特征（末位数为0或5），本题末位数字只能是5，属于基础题15.盒中共有9个球，其中有4个红球
12、，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则=_.【答案】【解析】【分析】由题意表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，共有种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有种取法，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.16.设函数（，）若不等式对一切恒成立，则=_，的取值范围为_.【答案】 (1). 3 (2).
13、【解析】【分析】由，先求导，则不等式对一切恒成立，即为对一切恒成立，结合三次函数的性质则，然后再利用二次函数的性质求解.【详解】因为，所以，因不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，解得或（舍去），所以对一切恒成立，当时，成立，当时，或，不成立，当时， 则，解得，当时，当时， ，综上：的取值范围为.故答案为：3；【点睛】本题主要考查不等式恒成立，导数的应用以及函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据积的导数运算法则及基
14、本初等函数的导数公式计算即可；（2）先化简函数，根据商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可.【详解】（1） .（2）因为，则.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式和和差积商的求导法则，考查了计算能力，属于基础题.18.2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；满意不满意总计男生20
15、女生15合计120（2）从被调查对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.参考公式：附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0720.7063.8415.0246.6357.87910828【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）根据所给数据可得列联表，然后计算可得；（2）由分层抽样可知男生抽3人，女生抽5人，的可能取值为0，1，2，3，并且服从超几何分布，计算出概率得分布列，再
16、由期望公式计算出期望【详解】解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，于是可完成22列联表，如下：满意不满意总计男生302555女生501565合计8040120根据列联表中的数据，得到的观测值，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为0，1，2，3，并且服从超几何分布，即，.可得分布列为0123可得.【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题难点是确定随机变量服从超几何分布，从而易计算概率19.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范
17、围.【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）【解析】【分析】（1），根据导数的正负得到函数单调性.（2），讨论和两种情况，根据函数的单调性得到极值情况，得到答案.【详解】（1）的定义域为，当时，令得，令得，所以的增区间为，减区间为.（2）当时，若，则，此时，在上单调递增所以函数在处不可能取得极大值，不合题意.当时，极大值函数在处取得极大值.综上可知，的取值范围是【点睛】本题考查了函数的单调性，根据极值点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的
18、销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的6组数据如下表所示：月份123456销售单价（元）11.19.19.410.28.811.4销售量（千件）2.53.132.83.22.4（1）根据1至6月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）参考公式：回归直线方程，参考数据：，【答案】（1）；（2）销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大【解析】【分析】（1）求出的平均数，利用最小二乘法即
19、可得出关于的线性回归方程；（2）由题意得出7月份的利润的关系式，结合二次函数的性质，即可得出结论.【详解】（1）由条件知，所以，故关于的线性回归方程为.（2）假设7月份的销售单价为元则由（1）可知，7月份零配件销量为故7月份的利润，其对称轴，故7月份销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及用回归直线方程进行估计，属于中档题.21.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污
20、管道的总长为ykm（I）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式（）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短【答案】（I）（）选择函数模型，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处【解析】【详解】（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则故，又，所以，则，所以，所以所求的函数关系式为（）选择函数模型令得，又，所以当时，是的减函数；时，是的增函数所以当时当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处22.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上无零点，求的取值范围.【答案】（1）减区间为，单调递增区间为；（2）【解
21、析】【分析】（1）把代入到中求出，令求出的范围即为函数的增区间，令求出的范围即为函数的减区间；（2）时不可能恒成立，所以要使函数在上无零点，只需要对时恒成立，列出不等式解出大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围；【详解】解：（1）当时，定义域为，则，令，得，令，得，的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为.（2）函数在区间上无零点，在区间上，恒成立或恒成立，当时，在区间上，记，则，在区间上，在区间上，单调递减，即，即在区间上恒成立，满足题意；当时，在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.综上所述，.【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，属于中档题
