1、2015-2016学年吉林省四平一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合，则ARB=( )Ax|x0Bx|2x4Cx|0x2或x4Dx|0x2或x42已知命题p：xR，sinx1，则( )Ap：x0R，sinx01Bp：xR，sinx1Cp：x0R，sinx01Dp：xR，sinx13设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=( )A3B6C9D124曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )Ay=2x+1By=2x1Cy=2x3Dy=2x25设函数f（x）=ln（1
2、+x）ln（1x），则f（x）是( )A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数6已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），若f（1）2，f（7）=，则实数a的取值范围为( )AB（2，1）CD7设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+x3，则f（x）的零点个数为( )A1B2C3D48下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )ABCD9若0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=( )ABCD10直线与曲线相切，则b的值为( )A2B1CD111已知定义
3、在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为( )A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）12已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数为( )A3B4C5D6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13设为第二象限角，若，则sin+cos=_14设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为_15若函数f（x）=x3+x2+2
4、ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是_16若不等式2xlnxx2+ax3对x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求a、b的值；（2）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围18已知函数f（x）=sin2xsin2（x），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值19设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2bc）sinB+（2cb）sinC（）求角A的大小；（
5、）若a=2，b=2，求ABC的面积20设函数f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）在3，+）上为减函数，求a的取值范围21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值22在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的
6、值2015-2016学年吉林省四平一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合，则ARB=( )Ax|x0Bx|2x4Cx|0x2或x4Dx|0x2或x4【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得ACRB【解答】解：1=，x0，A=x|x0；又x26x+80（x2）（x4）0，2x4B=x|2x4，RB=x|x2或x4，ARB=x|0x2或x4，故选C【点
7、评】本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题2已知命题p：xR，sinx1，则( )Ap：x0R，sinx01Bp：xR，sinx1Cp：x0R，sinx01Dp：xR，sinx1【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】利用“p”即可得出【解答】解：命题p：xR，sinx1，p：x0R，sinx01故选：C【点评】本题考查了“非命题”的意义，考查了推理能力，属于基础题3设函数f（x）=，则f（2）+f（log212）=( )A3B6C9D12【考点】函数的值 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先求f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对
8、数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和【解答】解：函数f（x）=，即有f（2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）=12=6，则有f（2）+f（log212）=3+6=9故选C【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题4曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )Ay=2x+1By=2x1Cy=2x3Dy=2x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】常规题型；计算题【分析】欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y
9、=，y=，所以k=y|x=1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y+1=2（x+1），即y=2x+1故选A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题5设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是( )A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可
10、【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），若f（1）2，f（7）=，则实数a的取值范围为( )AB（2，1）CD【考点】抽象函数及其应用
11、 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（7）=f（87）=f（1）=f（1），又f（1）2，f（7）=f（1），2，即，即解得a，故选：D【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+x3，则f（x）的零点个数为( )A1B2C3D4【考点】函数零点的判
12、定定理；函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案【解答】解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点当x0时，令f（x）=2x+x3=0，则2x=x+3，分别画出函数y=2x，和y=x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x0时函数f（x）也有一个零点综上所述，f（x）的零点个数为3个，故选C【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要
13、的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点8下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】压轴题【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案【解答】解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D【点评】本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式考查学生的看图能力9若0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=( )ABCD
14、【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】观察已知角与所求角之间的关系得到+=（+）（），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答【解答】解：若0，cos（+）=，cos（）=，sin（+）=，sin（）=，cos（+）=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=）=；故选C【点评】本题考查了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用，本题关键是发现+=（+）（）10直线与曲线相切，则b的值为( )A2B1CD1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切
15、点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值【解答】解：设切点坐标为（m，n）y|x=m=解得 m=1切点（1，n）在曲线的图象上，n=，切点（1，）又在直线上，b=1故答案为：B【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题11已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为( )A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合 【专题】综
16、合题；函数的性质及应用【分析】构造函数g（x）=（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：y=f（x+2）为偶函数，y=f（x+2）的图象关于x=0对称y=f（x）的图象关于x=2对称f（4）=f（0）又f（4）=1，f（0）=1设g（x）=（xR），则g（x）=又f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1又g（0）=1g（x）g（0）x0故选B【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键12已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点
17、x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数为( )A3B4C5D6【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断 【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有=4a212b0而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，f（x
18、）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，=4a212b0解得=x1x2，而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，此方程有两解且f（x）=x1或x2不妨取0x1x2，f（x1）0把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）x1的图象，f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）x2的图象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解综上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2只有3个实数解即关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的只有3不同实根故选：A【点评】本题综合考查了利用导数研
19、究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13设为第二象限角，若，则sin+cos=【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系 【专题】压轴题；三角函数的求值【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与cos的值，即可求出sin+cos的值【解答】解：tan（+）=，tan=，而cos2=，为第二象限角
20、，cos=，sin=，则sin+cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键14设二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），则的最小值为3【考点】基本不等式；二次函数的性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【解答】解：二次函数f（x）=ax24x+c（xR）的值域为0，+），a0，=164ac=0，ac=4，则c0，2=2=3，当且仅当，=时取到等号，的最小值为3故答案为：3【点评】本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是
21、求出a与c的关系，属于基础题15若函数f（x）=x3+x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a的范围【解答】解：函数f（x）=x3+x2+2ax，f（x）=x2+x+2a=（x）2+2a当x，+）时，f（x）的最大值为f（）=2a+，令2a+0，解得a，所以a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查函数的导数的应用，考查计算能力16若不等式2xlnxx2+ax3对x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围是（，4【考点】函数恒成立问题 【专题】综合题
22、；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由已知可得ax+2lnx+，x0，令y=x+2lnx+，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围【解答】解：2xlnxx2+ax3对x（0，+）恒成立，ax+2lnx+，x0，令y=x+2lnx+，则y=1+=，由y=0，得x1=3，x2=1，当x（0，1）时，y0，函数y=x+2lnx+为减函数；当x（1，+）时，y0，函数y=x+2lnx+为增函数x=1时，ymin=1+0+3=4a4实数a的取值范围是（，4故答案为：（，4【点评】本题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题三、解答
23、题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求a、b的值；（2）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：（1）定义在R上的函数f（x）=是奇函数f（0）=0，即，得b=1，则f（x）=，f（x）是奇函数，f（1）+f（1）=0，+=0，解得a=1即a=b=1（2）a=b=1f（x
24、）=1+，则f（x）为减函数，由f（t22t）+f（2t2k）0得f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2）即t22tk2t2恒成立，即3t22tk0恒成立，则判别式=4+34k0，解得k，即k的取值范围是（，）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档18已知函数f（x）=sin2xsin2（x），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的最小正周期可求；
25、（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值【解答】解：（1）f（x）=sin2xsin2（x）=f（x）的最小正周期T=；（2）x，2x，则2x，故f（x）在区间，上的最大值和最小值分别为【点评】本题考查y=Asin（x+）型函数的图象和性质，考查三角函数值域的求法，运用辅助角公式化简是解答该题的关键，是基础题19设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA=（2bc）sinB+（2cb）sinC（）求角A的大小；（）若a=2，b=2，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】解三角形【分析】（）ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cosA=，A=；（
26、）ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为得到角C，由三角形面积公式即得结论【解答】解：（）由已知及正弦定理可得，整理得，所以 又A（0，），故 （）由正弦定理可知，又a=2，所以 又，故或 若，则，于是； 若，则，于是【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题20设函数f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）在3，+）上为减函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（I）f（x）=，
27、由f（x）在x=0处取得极值，可得f（0）=0，解得a可得f（1），f（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=对x分类讨论：当xx1时；当x1xx2时；当xx2时由f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得即可解法二：“分离参数法”：由f（x）在3，+）上为减函数，可得f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，利用导数研究其最大值即可【解答】解：（I）f（x）=，f（x）在x=0处取得极值，f（0）=0，解得a=0当a=0时，f（x）=，f（
28、x）=，f（1）=，f（1）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为，化为：3xey=0；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=当xx1时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为减函数；当x1xx2时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为增函数；当xx2时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为减函数由f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得a因此a的取值范围为：解法二：由f（x）在3，+）上为减函数，f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，u（x）=0，u（x）在3
29、，+）上单调递减，au（3）=因此a的取值范围为：【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题21设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想【分析】（）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设
30、条件结合（I），将不等式，（xk） f（x）+x+10在x0时成立转化为k（x0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=exax2的定义域是R，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x0时，（xk） f（x
31、）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为2【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小
32、值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错22在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 【专题】压轴题；直线与圆【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1与C2交点的极坐标为（4，）（2，）（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，解得a=1，b=2【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题
