1、北京市第一七一中学高三第三次月考数学试卷一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合，由此能求出【详解】解：集合，故选：【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属于基础题2.给定函数：；，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，为幂函数，且的指数，在上为增函数；，为对数型函数，且底数，在上为减函数；，在上为减函数，为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【详解】，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故不可选；，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故可选；，在上为减函
2、数，在上为增函数，故可选；为指数型函数，底数在上为增函数，故不可选；综上所述，可选的序号为，故选B.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.3.已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，则（ ）A. B. C. 0D. 15【答案】D【解析】【分析】由题意和等差数列的通项公式可得的方程，解方程代入求和公式计算可得【详解】解：由题意可得，公差，代入数据可得，解得，故选：【点睛】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题4.设为单位向量，则的最大值为（ ）A. 2B. C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析
3、】由题意可设，代入，利用辅助角公式化简即可求得的最大值【详解】解：由为单位向量，且，可设，的最大值为故选：【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，辅助角公式的应用，属于中档题5.设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，
4、及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.6.如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，三棱柱可分割为：，三部分，分析可得三部分体积相等，整理即可求解【详解】设直三棱柱的体积为，连接，点、分别在棱和上，四棱锥的，的底面积相等，把直三棱柱分割为：，三棱锥的为，四棱锥，的体积之和为：，四棱锥的，的底面积，高相等四棱锥的，的体积相等，即为，棱锥，的体积相等，为，平
5、面把三棱柱分成两部分的体积比为【点睛】本题考查椎体体积的求法，考查空间想象能力，计算推理的能力，属中档题7.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式8.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票，如果三位专家都投票的作品列为等，两位专家投票的列为等，仅有一位专家投票的作品列为等，则下列说法正确的是（ ）A. 等和等共6幅B. 等和等共7幅C. 等最多有5幅D. 等比
6、等少5幅【答案】D【解析】【分析】根据条件，将所有可能的结果一一列举出来，即可判断.【详解】解：由三位专家每人投5票，一共15张票，现要求10幅作品每幅作品都有专家投票，那么就10票了，还剩下5票；则这5票的可能情况有，当时，则有等2幅，等1幅，等7幅；当时，则有等1幅，等2幅，等7幅；当时，则有等0幅，等4幅，等6幅；则正确的只有故选：【点睛】本题考查简单的归纳推理，属于基础题.二、填空题9.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得解.【详解】解：因为命题“”为特称命题，故其否定为“”故答案为：【点睛】本题考查特称命题的否定，属于基础题.10.已知的面积
7、为，则_.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再利用面积公式可得的值，再由和余弦定理即可求解【详解】解：，由，可得，由解得：，余弦定理：解得：故答案为：【点睛】本题考查的面积的求法和余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题11.若，则=_【答案】【解析】分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论详解：由已知，故答案为点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式12.已知函数与
8、函数的图象在点处有相同的切线，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出导数以及，求出，利用与的图象在处有相同的切线，列出方程，即可求解【详解】解：因为，所以 因为，所以因为与的图象在处有相同的切线，所以，所以故答案：【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.13.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，.规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令，其中，且，则班内同时同意1，2号同学当选的人数可以用含式子表示为_.【答案】【解析】【分析】先写出同意第号同学当选的同学，再写出同意第号同学当选的同学，那么同时同意，号同学当选的人数
9、为它们对应相乘再相加【详解】解：第1，2，名学生是否同意第号同学当选依次由，来确定表示同意，表示不同意或弃权），是否同意第号同学当选依次由，确定，而是否同时同意，号同学当选依次由，确定，故同时同意，号同学当选的人数为，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力14.设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，同时成立，则正整数的最大值是 【答案】【解析】试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为.考点：取整函数.三、解答题15.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列
10、表并填入了部分数据，如下表：0050 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象若图象的一个对称中心为，求的最小值【答案】（）；（）【解析】（）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：00500且函数表达式为（）由（）知，得因为的对称中心为，令，解得，由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，由可知，当时，取得最小值考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质16.设是一个公比为的等比数列，且它的前4项和，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1
11、）；（2）【解析】【分析】（1）通过，成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知，进而利用分组法求和即可【详解】解：（1），成等差数列，又数列是等比数列，即，解得：或（舍，又，即，数列是首项为、公比为的等比数列，数列通项公式；（2）由（1）可知，2，数列的前项和为【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为上异于的点.（1）求证：平面平面；（2）当与平面所成角为时，求的长；（3）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证
12、明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由为正方形，可得又平面，得利用线面垂直判断可得平面从而得到平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系可得，0，2，2，0，0，设是上一点，且，由此可得点，即，利用与平面所成角为列式求得值，进一步求得的长；（3）结合（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值【详解】证明：（1）为正方形，平面，平面，平面，平面平面又平面，平面平面；解：（2）平面，平面，平面，底面为正方形，如图以为原点建立空间直角坐标系则， ， ， ， ，设是上一点，且，因此点， ， ，即 ，此时；解：（3），平面为平面的法向量，设平面的法向量为
13、，由，取，得，设与夹角为，由图可知二面角为锐角，二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角与面面角，属于中档题18.平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点（）求椭圆C的方程；（）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标【答案】（）;（）（）见解析；（）的最大值为，此时点的坐标为【解析】【详解】试题分析：（）根据椭圆的离心率和焦
14、点求方程；（）（）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标试题解析：（）由题意知：，解得因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为（）（1）设，由可得，所以直线的斜率为，其直线方程为，即设，联立方程组消去并整理可得，故由其判别式可得且，故,代入可得，因为，所以直线的方程为联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上（2）由（1）知直线的方程为，令得，所以，又，所以，所以，令，则，因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数
15、求最值；运算求解能力19.已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q=（）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（）（）（）（）【解析】试题分析：（）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（）（）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值试题解析：（）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（）（）设函数，则，所以，由的定义知，即（）当时，当时，所以，【考点】函数
16、的单调性与最值，分段函数，不等式【思路点睛】（）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（）（）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（）根据的取值范围求出的最大值，进而可得20.对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令3，（） 若数列：求数列；（） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，求关于的表达式【答案】() ； () 10对 ；见详解；() 【解析】试题分析：（）由变换的
17、定义“将“数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0”直接可得数列；（）数列中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1，0，0，1，在中每一个0在中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对； （）设中有个01数对，中的00数对只能由中的数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：由中的1得到； 由中00得到，讨论的奇偶可求出所求试题解析：解：（）由变换的定义可得（） 数列中连续两项相等的数对至少有10对证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，所以中至少有10对连续相等的数对（） 设中有个01数对，中的00数对只能由中的01数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：由中的1得到； 由中00得到，由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，所以，所以，由可得，所以，当时，若为偶数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足若为奇数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足所以考点：1数列与函数的综合；2数列的概念及简单表示法
