1、高考压轴大题突破练(三)函数与导数(1)(推荐时间：70分钟)1已知函数f(x)ln x，g(x)(a0)，设F(x)f(x)g(x)(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若以函数yF(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解(1)F(x)f(x)g(x)ln x(x0)，F(x).a0，由F(x)0x(a，)，F(x)在(a，)上是增函数由F(x)0x(0，a)，F(x)在(0，a)上是减函数综上，F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2)由F(x)(0x3)，得kF(x)(0x03)恒成立axx0(00时，由f(x
2、)0，得ax0，得x，此时f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)和(，)当a0时，由f(x)0，得x0，得xa，此时f(x)的单调递减区间为(，a)，单调递增区间为(，)和(a，)综上，当a0时，f(x)的单调递减区间为(a，)，单调递增区间为(，a)和(，)当a0时，f(x)的单调递减区间为(，a)，单调递增区间为(，)和(a，)(3)依题意x(0，)，不等式2xln xf(x)a21恒成立，等价于2xln x3x22ax1在(0，)上恒成立，可得aln xx在(0，)上恒成立，设h(x)ln x，则h(x).令h(x)0，得x1，x(舍)，当0x0；当x1时，h(x)0.
3、当x变化时，h(x)与h(x)变化情况如下表x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)单调递增2单调递减 当x1时，h(x)取得最大值，h(x)max2，a2，即a的取值范围是2，)3某知名保健品企业新研发了一种健康饮品，已知每天生产该种饮品最多不超过4万瓶，最少1 000瓶，经检测在生产过程中该饮品的正品率P与每日生产产品瓶数x(xN*，单位：千瓶)间的关系为P，每生产一瓶饮品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元(注：正品率饮品的正品瓶数饮品总瓶数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；(2)求该种饮品日利润的最大值解(1)由题意，得每生产1 000瓶饮品盈利4 000元，每出现1
4、000瓶次品亏损2 000元，故y4 000x2 000(1)x3 600xx3.所以日利润yx33 600x(xN*,1x40)(2)令f(x)x33 600x，x1,40，则f(x)3 6004x2，令f(x)0，解得x30.当1x0；当30x40时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f(x)0，得xe2a；令F(x)e2a，故函数F(x)在区间(0，e2a)上是增函数，在区间(e2a，)上是减函数当e2a0时，函数F(x)在区间(0，e2a)上是增函数，在区间(e2a，e2上是减函数，所以F(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(e2)0，由图象，易知当0x
5、e1a时，F(x)0；当e1a0，此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公共点当e2ae2，即a0时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0时， 函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点；若F(x)maxF(e2)0，即a1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，所以有g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x1)(2)方法一记h(x)f(x)，由(1)得h(x).令G(x)(x5)3216x，则当1x3时，G(x)3(x5)22160，因此G(x)在(1,3)内是减函数又由G(1)0，得G(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是减函数又h(1)0，所以h(x)0.于是当1x3时，f(x).方法二记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)内单调递减又h(1)0，所以h(x)0，即f(x).
