1、2007年上海市郊区部分区县高三调研考试数学卷 2007年4月题 号一二三总 分1121316171819202122得 分考生注意：1本试卷共有22道试题，满分150分考试时间120分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2本试卷部分记号采用非试验教材的表示法，使用试验教材的考生请注意，试卷中的相当于试验教材中的，相当于试验教材中的 得 分评 卷 人一填空题 (本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1已知，（是虚数单位），若为实数，则实数的值是_2若直线与直线互相垂直，则_3已知正三棱锥底面边长为，侧棱与底面成角，则三棱锥的体积为_4设
2、，则_5（理）已知，则_ （文）已知（），若，则_6（理）在极坐标系中，曲线与曲线有_个公共点 （文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为_天工序紧前工序、工时数（天）7设为正整数，抛物线在轴上截得的线段长为，则 _8点是抛物线上到直线距离最短的点，则到抛物线焦点的距离是_9已知向量，若、的夹角为，则的取值范围是_10在某次数学考试中，学号为（）的学生的考试成绩为，且，则满足的概率为_（用分数表示结果）11对于实数，用表示不超过的最大整数，如， （理）若为正整数，为数列的前项和，则_ （文）若为正整数，为数列的前项和，则_12（理）设且，若函数的图像与直线恒有公共点，则、应满足的条件为_ （文
3、）设，若函数的图像与直线恒有公共点，则的取值范围为_ 得 分评 卷 人二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13中，“”是“”的（ ） (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.14若直线（）将圆分成两段相等的弧，则等于（ ） (A) . (B) . (C) . (D) .15制作一个面积为，形状为直角三角形的钢框架，有下列四种长度的钢管
4、可供选用，则最合适（既够用，又剩余最少）的长度为（ ） (A) . (B) . (C) . (D) .16（理）若函数（且）在区间上是增函数，则在区间上为（ ） (A) 增函数且有最大值. (B) 增函数且无最大值 (C) 减函数且有最小值. (D) 减函数且无最小值. （文）已知函数（）在区间上是增函数，则函数在区间上的单调性为（ ） (A) 先减后增. (B) 先增后减. (C) 单调递减. (D) 单调递增.三解答题 (本大题满分86分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 得 分评 卷 人 17 (本题满分12分) 设，（为实数且，为虚数单位）求函数的值域 得 分评 卷 人
5、18. (本题满分12分) C1B1CBAA1P（理）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， 为的中点，且，求二面角的大小A1CABB1C1 （文）底面边长为的正三棱柱的体积为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 得 分评 卷 人 19(本题满分14分) 本题共有2个小题，理科第1小题满分8分，第2小题满分6分；文科第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，点、分别是轴和轴正半轴上的定点，动点满足，点满足（理）（1）用与来表示； （2）当向量与的夹角为何值时，的值最大，并求出此最大值（文）（1）用，来表示；（2）求的最大值，并求出当取最大值时点的坐标OBAyx 得 分评 卷 人 2
6、0. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分10分. 甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于任意，存在两个函数，当甲公司投入万元用于产品的宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入万元用于产品的宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险 （1）解释，的实际意义； （2）当，时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用问此时甲、乙两公司各应投入多少宣传费？ 得 分评 卷 人 21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分
7、， 第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点 （1）求的取值范围； （2）（理）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程； （文）如果椭圆的两个焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点，求椭圆的方程； （3）（理）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围（文）过（2）中椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围F1xOyF2得 分评 卷 人 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.
8、 我们用和分别表示实数中的最小者和最大者（1）设，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，为实数，求函数（）的最小值或最大值为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值 学生甲得出的结论是：，且无最大值 学生乙得出的结论是：，且无最小值 请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）部分区高三调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（每小题4分，满分48分）1；2；3；4；5（理）；（文）；6（理）；（文）；7；
9、8；9；10；11（理）；（文）；12（理）时，时（文）二、选择题（每小题4分，满分16分）13C；14D；15B；16（理）D（文）D三、解答题17解：，（3分） （5分） ，（8分） ， ， 函数的值域为（12分）18（理）解法一： 为的中点，且， ， 设，则，于是，所以 （4分） 由，得平面，所以， 是二面角的平面角（8分） 是等腰直角三角形， ，（10分） 即二面角的大小是（12分） （理）解法二：以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，由， 得，即，所以（4分） 平面的一个法向量为，设面的一个法向量是，则由 ，得， ，（8分） 设与的夹角为，则（10分）
10、 二面角的大小是（12分） （文）设， 正三棱柱的体积为， ， （4分） 连结， ， （或其补角）就是异面直线与所成的角（6分） 在中， （10分） 异面直线与所成角的大小为（12分） （或，或）19（理）解法一：（1）由已知可得，又， （2分） 所以， （8分） （或）（2）由（1）， ，（12分） 当，即向量与的夹角时，取最大值（14分）解法二：（1）由已知可得， ， ，（2分） 由已知， （8分） （2）由（1） （10分）当且仅当时，等号成立，此时，而，（12分）所以与的夹角时，取得最大值（14分）19（文）（1）由已知可得， ，（2分） ，（6分） （或） （2）由（1） （10分）
11、当且仅当时，等号成立，此时， 当点的坐标为时，取最大值（14分）20解：（1）的实际意义是当甲公司不进行产品宣传时，乙公司为了保证无失败风险，至少要投入万元用于产品宣传；的实际意义是当乙公司不进行产品宣传时，甲公司为了保证无失败风险，至少要投入万元用于产品宣传（4分）（2）设甲公司投入宣传费用万元，乙公司投入宣传费用万元，则当且仅当 时，双方均无失败的风险（8分） ，解得，（12分） 从而，（13分）即甲、乙两公司应分别投入万元和万元进行产品宣传（14分）21解：（1）由已知， 方程组有实数解，从而，（3分） 故，所以，即的取值范围是（4分） （2）（理）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，则 （
12、）（6分） ， 当时，（7分） 于是，解得 （9分） 所求椭圆方程为（10分） （直接给出的扣3分） （2）（文）由已知可得 ，从而，（8分）所以所求椭圆方程是（10分） （3）（理）由得 （*） 直线与椭圆交于不同两点， ，即（12分） 设、，则、是方程（*）的两个实数解， ， 线段的中点为， 又 线段的垂直平分线恒过点， ， 即，即 （14分） 由，得，又由得， 实数的取值范围是（16分）（3）（文），由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为： ，由得，（*） 设，则是方程（*）的两个实数解，于是， 则线段的中点为（12分） 线段的垂直平分线的方程为， 在上式中令，得点的横坐标为（14
13、分） ，所以点的横坐标的取值范围是（16分）22解（1）， （4分） （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ，于是在区间上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数（8分） 所以函数的最小值是，且函数没有最大值（10分） 若选择学生乙的结论，则说明如下， ，于是在区间上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数（8分） 所以函数的最大值是，且函数没有最小值（10 分）（3）结论：若，则； 若，则； 若，则， （写出每个结论得1分，共3分，证明为5分） 以第一个结论为例证明如下： ， 当时，是减函数， 当时，是增函数 当时，函数的图像是以点，为端点的一系列互相连接的折线所组成，所以有
