1、14充分条件与必要条件14.1充分条件与必要条件14.2充要条件课程目标 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系；2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；3.能对充分条件进行证明 知识点充分、必要条件与充要条件1充分条件、必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p_qp_/_q条件关系p是q的_充分条件_，q是p的_必要条件_p不是q的_充分条件_，q不是p的_必要条件_定理关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件；一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件2充
2、要条件：如果既有pq，又有qp，就记作_pq_此时，我们说p是q的_充分必要条件_，简称为_充要条件_显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q_互为充要条件_研读(1)“p是q的充分条件”的等价说法有：“若p，则q”为真；pq；q是p的必要条件(2)“p是q的必要条件”的等价说法：“若q，则p”为真；qp；q是p的充分条件 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)“xy”是“x2y2”的充分条件()(2)“ab0”是“b0”的必要条件()(3)“x21”是“x1”的充分条件()(4)“x1或x2”是“x23x20”的必要不充分条件.()(5)已知p：x
3、0，y0，q：xy1时，x1不一定成立，如(2)21，但21时，可得x21.所以“x21”是“x1”的必要条件(4)当x23x20时，可得x1或x2；当x1或x2时，可推出x23x20，所以“x1或x2”是“x23x20”的充要条件(5)因为x0，y0/ xy0，xy0，y0，所以p是q的既不充分也不必要条件(6)因为x0，y0 x2y20，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2y20x0，y0，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件 下列各题中，分别指出p是q的什么条件(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线
4、相等； (3)p：AB，q：ABA; (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解：(1)因为两个三角形相似/ 两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件. (2)因为矩形的对角线相等，所以pq，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q/ p，所以p是q的充分不必要条件. (3)因为pq，且qp，所以p是q的充要条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p/ q；又是正数，但不是自然数，故q/ p故p是q的既不充分也不必要条件规律方法充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断pq和qp是否成立，然后得结论(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角
5、度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围大范围，大范围/ 小范围(3)传递法：已知p1p2p3pn，则p1pn. 活学活用下列各题中，p是q的什么条件？(1) p：ax22x10有两个不相等的实数根，q：a1；(2) p：1x2；(3) p：ABA，q：ABB；(4) p：x2，y2，q：xy4.解：(1)由ax22x10有两个不相等的实数根，知224a(1)0且a0，得a1且a0，即p/ q；反之，取a0，则方程ax22x10只有一个实数根，即q/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件(2)易知p：x3，q：x5，所以p是q的必要不充分条件(3)因为ABAABB，所以p是q的充要条件(4)p
6、q，但q/ p，所以p是q的充分不必要条件 已知ab0，求证：ab1是a3b3aba2b20的充要条件证明：充分性：因为ab1，所以a3b3aba2b20.必要性：因为a3b3aba2b20，所以ab1或a2abb20.又因为a2abb20，所以ab1.综上可得，当ab0时，ab1是a3b3aba2b20的充要条件规律方法证明充要条件一般分为两个步骤，即证明充分性和必要性这两个方面其中充分性就是要证明条件结论，必要性就是证明结论条件所以在证明之前，一定要先分清楚哪个是条件，那个是结论 活学活用求证：关于x的方程ax2bxc0有一正一负根的充要条件是ac0；证明：充分性：ac0x1x20；必要性
7、：ax2bxc0有一正一负根，则x1x20ac0.综上可得，ax2bxc0有一正一负根的充要条件是ac4Ba|a0Ca|a4 Da|a0，若xQ是xP的充分条件，求实数a的取值范围解：Px|x3，Qx|(x1)(xa)0，由xQ是xP的充分条件QPa3a3.2已知P，Qx|(x1)(xa)0，若xP是xQ的充分条件，求实数a的取值范围解：PRPx|1x3，QRQx|(x1)(xa)0由xP是xQ的充分条件PQRQRP3a1.1下列四个命题中，真命题是(C)A两个无理数的和还是无理数B若a2b2，则abC正方形的四边相等D菱形的对角线相等【解析】 两个无理数的和不一定是无理数，如(1)1；若a2
8、b2，则ab；正方形的四边相等；菱形的对角线互相垂直2若a，bR，则ab0是a2b2的(A)A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【解析】 由ab0可推出a2b2；但由a2b2无法推出ab0，如a2，b1，即ab0是a2b2的充分不必要条件3p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的(D)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形故选D.4设xR，则x2的一个必要不充分条件是(A)Ax1 Bx3 Dx2x1，但x1/ x2.故选A.5A，B是两个非空集合，由AB可以推得的结论是_(填序号)AB；ABA；ABB；ABA；(AB)(AB).【解析】 由Venn图知正确6求证：方程x22(ab)xc0有两个相等实数根的充要条件是c(ab)2.证明：充分性：若c(ab)2，则x22(ab)xc0化为x22(ab)x(ab)20，即x(ab)20，所以x1x2ab，所以方程有两个相等实数根必要性：因为方程x22(ab)xc0有两个相等实数根，所以2(ab)24c0，整理得c(ab)2.所以，c(ab)2是方程x22(ab)xc0有两个相等实数根的充要条件
