1、哈尔滨师大附中2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，
2、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1已知集合若，则b等于A1B2C3D1或22复数AiB-iCD1 + i3ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a b”是“cos2A cos2B”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4向量a，b满足，则向量a与b的夹角为A45B60C90D120（第6题图）222正视图侧视图俯视图5实数m是区间上的随机数，则关于x的方程有实根的概率为ABCD6已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是ABCD7椭圆两个焦点
3、分别是F1、F2圆上任意一点，则的取值范围是ABCD开始结束输入t输出S否是8半径为1的球面上有四个点A、B、C、D，O为球心，AB过点O，CA = CB，DA = DB，DC = 1，则三棱锥A - BCD的体积为ABCD9已知数列满足（），则a10 =Ae26Be29Ce32De3510执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的A8B9C10D1111若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是ABCD12函数的零点个数为A9B10C11D12第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题
4、 第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13若等差数列中，满足，则=_。14若变量x，y满足约束条件，则的最小值为_。15已知双曲线C：，点P与双曲线C的焦点不重合若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为P1，则=_。16若函数满足：（i）函数的定义域是R；（ii）对任意有；（iii）。则下列命题中正确的是_。（写出所有正确命题的序号）函数是奇函数；函数是偶函数；对任意，若，则； 对任意，有.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知ABC的面积为2，且满足，则
5、和的夹角为。（1）求的取值范围；（2）求函数的取值范围。18（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象全世界也越来越关注环境保护问题当空气污染指数（单位：g/m3）为050时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为2003
6、00时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：g/m3）监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（g/m3）050100150200（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19（本小题满
7、分12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，BCD = 60，四边形BDEF是正方形，且DE平面ABCD。（1）求证：CF平面AED；（2）若，求多面体ABCDEF的体积V。20（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点，且被y轴所截得的弦长为4。（1）求动圆圆心的轨迹C1的方程;（2）过点分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1 + k2 = 0，且直线AB与圆C2：相切，求PAB的面积。21（本题满分12分）已知实数a为常数，函数（1）若曲线在x = 1处的切线过点，求a值；（2）若函数有两个极值点求证：；求证
8、：，。请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22（本小题满分10分）CDMOBEA选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC中，ABC = 90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE BC = DM AC + DM AB。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数
9、方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值。24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数。（1）解不等式；（2）若，使得，求实数m的取值范围。2015年东北三省三校第一次高考模拟考试文科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案DACCBBCACADD二、填空题13403014-615-1616 三、解答题17解：（1）设ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，则由已知：， 4分可得，所以： 6分（2） 8分，即当时，；当时，所以：函数的取值范围是 12分18（本小题满分12分
10、）解：（1） 2分 0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（）0501001502005分（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， 8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， 10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的
11、概率是. 12分19（本小题满分12分）（1）证明：是菱形，.又平面，平面，平面. 2分又是正方形，.平面，平面，平面. 4分平面，平面，平面平面.由于平面，知平面. 6分（2）解：连接，记.ABCD是菱形，ACBD，且AO = BO 由平面，平面，.平面，平面，平面于，即为四棱锥的高. 9分由是菱形，则为等边三角形，由，则， . 12分20（本小题满分12分）解：（1）设动圆圆心坐标为，半径为，由题可知；动圆圆心的轨迹方程为 4分（2）设直线斜率为,则 点P（1,2）在抛物线上设,恒成立，即有 代入直线方程可得 6分同理可得 7分 9分不妨设.因为直线与圆相切，所以解得或1,当时, 直线过点
12、,舍当时, 由；到直线的距离为，的面积为. 12分21解：（1）由已知：，切点 1分切线方程：，把代入得：a = 1 3分（2）（I）依题意：有两个不等实根设，则：当时：，所以是增函数，不符合题意； 5分当时：由得：列表如下： x+0-极大值依题意：，解得：综上所求：，得证； 8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当且时，当且时在上必有一个零点当时，设，极大值时，即时，设，由，时，在上有一个零点 综上，函数有两个极值点时，得证方法二有两个极值点,即有两个零点,即有两不同实根.设,当时，；当时，极大值当时有极大值也是最大值为，
13、故在有一个零点当时，且时综上函数有两个极值点时，得证 证明：由知: 变化如下:0+0极小值极大值由表可知: 在 上为增函数, 又 ,故 10分 所以：即， 12分22选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连结OE，点D是BC的中点，点O是AB的中点， OD平行且等于，A=BOD，AEO = EOD，OA = OE，A = AEO，BOD = EOD 3分在EOD和BOD中，OE = OB，BOD = EOD，OD = OD，EOD BOD，OED = OBD = 90，即OEBD是圆O上一点，DE是圆O的切线 5分（II）延长DO交圆O于点FEOD BOD，DE = DB，点D是BC的中点，BC
14、 = 2DB，DE、DB是圆O的切线，DE = DB，DEBC = DE2DB = 2DE2 7分AC = 2OD，AB = 2OFDM AC + DM AB = DM (AC + AB) = DM (2OD + 2OF) = 2DM DFDE是圆O的切线，DF是圆O的割线，DE2 = DM DF，DE BC = DM AC + DM AB 10分23选修4-4： 坐标系与参数方程 解：（1）由 ，得：， ，即，曲线C的直角坐标方程为 3分由，得，即，直线l的普通方程为 5分（2）将代入，得：，整理得：，由，即，解得：-1 m 3设t1、t2是上述方程的两实根，则， 8分又直线l过点，由上式及t的几何意义得，解得：或，都符合-1 m 3，因此实数m的值为1或或 10分24选修4-5： 不等式选讲解：（1）当x -2时，即，解得，又，；当时，即，解得，又，；当时，即，解得，又，. 3分综上，不等式的解集为. 5分（2）. 8分，使得，整理得：，解得：，因此m的取值范围是. 10分
