1、天津市南大奥宇培训学校2021届高三数学下学期校模拟试题温馨提示，本试卷分为卷和卷，卷45分，卷105分。请在规定的时间内将卷和卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。本场考试时间为120分钟，满分150分。祝同学们考试顺利。第 卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）已知集合A=x | y=lnx，B=yZ | y=2sinx，则AB=（ ）（A）(0，2 （B）0，2 （C）1，2 （D）0，1，2（2）命题“nN，n21Q”的否定为（ ）（A）nN，n21Q （B）nN，n21Q（C）$nN，n21Q （D）$nN
2、，n21Q（3）函数（xp，0)(0，p）的大致图象为（ ） （A） （B） （C） （D）（4）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为（ ）（A）20 （B）25 （C）30 （D）40（5）高为1的圆锥内接于半径1为的球，则该圆锥的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）p（6）设，则（ ）（A）bca （B）bac （C）acb（D）abc（7）已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=4cx（其中c=）交于A，B两点，若|AB|=4c，则双曲线的离心率为（ ）（A） （
3、B）2 （C） （D）+1（8）函数f(x)=2sin(wx+j)（w0，0jp）的图象如图，把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y=g(x)的图象，下列结论中：j =； 函数g(x)的最小正周期为p；函数g(x)在区间，上单调递增；函数g(x)关于点(，0)中心对称其中正确结论的个数是（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（9）已知函数f(x)=若函数g(x)=a|f(x)|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则ax1x2+的取值范围是（ ）（A）(1，+) （B）4，+) （C）1，4) （D）1，2)第 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题
4、5分，共30分把答案填在题中横线上（10）设i为虚数单位，复数z=R，则实数a的值是 （11）已知a0，(x)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）（12）已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是 （13）一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为 ；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为x，则随机变量x的数学期望Ex= （14）已知a0，b0，且a+b2=1，则的最小值为 （15）已知直角梯形ABC
5、D中，ABCD，AB=2，BCD=60，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AD=，则= ；若，则AD= 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分14分）在ABC中，D为边BC上一点，CD=2BD，ADB=120，AD=2，且ADC的面积为（）求sinB的值； （）求cos(2B)的值（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角P-AC-E的余弦值为
6、，求a的值；（）在（）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，|AB|=4（）求椭圆的方程；（）求四边形ACBD面积的最小值（19）（本小题满分15分） 设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bnlog3an，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+（20）（本小题满分16分）已知函数f(x)=(x+1)e
7、ax（a0）在点(，f()处的切线斜率为0（）求a的值；（）求f(x)在t1，t+1上的最大值；（）设g(x)=f(x)+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2(0，1)都有|g(x1)g(x2)|+12021届南大奥宇校级模拟数学试卷参考答案一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答 案CDAABDDCB二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）（10）； （11）1； （12）(x2)2+(y+3)2=13； （13）5； （14）； （15）；注：（13）、（15）题每题第一个空2分，第二个空3分。三、解答题：（
8、其他正确解法请比照给分）（16）解：（）ADB=120，ADC=60由SADC =ADDCsinADC=，得DC=2， 3分BD=DC，BD=1，BC=3在ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD22ADBDcosADB=7，AB=，由正弦定理得=，sinB= 8分（）sinB=，且B为锐角，cosB=， sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B1=， 12分cos(2B)=cos2B+sin2B= 14分（17）解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面E
9、AC，平面EAC平面PBC 5分（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)（a0），则E(，)，=(1，1，0)，(0，0，a)，=(，)取m=(1，1，0)，则m=m=0，m为面PAC的法向量设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n=n=0，即，取x=a，y=a，z=2，则n=(a，a，2)，依题意，|cos|=，则a=2 11分（）由（）知n=(2，2，2)，=(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为q，则sinq=|cos|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 15分（1
10、8）解：（）由题设可得 解得a=2，c=1，从而b=，所以椭圆方程为 4分（）（i）当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知，四边形ACBD面积S=|AB|CD|=6 6分（ii）当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为x=ty+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为x=y+1将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3t2+4)y2+6ty9=0，则y1+y2=，y1y2=，|AB|=|y1y2|=同理，|CD|= 10分四边形ACBD面积S=|AB|CD|=6(1)=6(1)=6(1)14分综上，四边形ACBD面积的最小
11、值为 15分（19）解：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1 2分2bnb1=S1Sn，当n=1时，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 3分当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1 5分（）cn=bnlog3an=2n1log33n1=(n1)2n1， 6分Tn=020+121+222+(n2)2n2+(n1)2n1 2Tn= 021+122+223+(n2)2n1+(n1)2n 得：Tn=020+21+22+23+2n1(n1)2n =2n2(n1
12、)2n =2(n2)2nTn=(n2)2n+2 10分（）=，+=(1) 15分（20）解：（）f(x)=eax+a(x+1)eax=(ax+a+1)eax，因为x=是f(x)的一个极值点，所以f()=(a+3)e2=0，所以a=3 3分（）由（）知f(x)=(x+1)e3x，f(x)=(3x2)e3x，易知f(x)在(，)上递增，在(，+)上递减，当t+1，即t时，f(x)在t1，t+1上递增，f(x)max=f(t+1)=(t+2)e3(t+1)； 当t1，即t时，f(x)在t1，t+1上递减，f(x)max=f(t1)=te3(t1)； 当t1t+1，即t时，f(x)max=f()= 9
13、分（）g(x)=(x+1)e3x+2x+3xlnx，设g(x)=m1(x)+m2(x)，x(0，1)，其中m1(x)=(x+1)e3x+2x，m2(x)=3xlnx，则m1(x)=(3x2)e3x+2，设h(x)=(3x2)e3x+2，则h(x)=(9x+3)e3x0，可知m1(x)在(0，1)上是增函数，所以m1(x)m1(0)=0，即m1(x)在(0，1)上是增函数，所以1m1(x)2+ 又m2(x)=3(1+lnx)，由m2(x)0，得x；由m2(x)0，得0x，所以m2(x)在(0，)上递减，在(，1)上递增，所以m2(x)0 从而1m1(x)+m2(x)2+所以，对任意x1，x2(0，1)，|g(x1)g(x2)|(2+)(1)=+116分
