1、北京市人大附中2020届高三数学6月统一练习（三模）考试试题（含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合，若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】，且，解得，则，.故选：C考点：1.集合的运算；2.对数的计算2. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，
2、同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数是单调递减函数，所以， 函数是单调递增函数，所以，函数是单调递增函数，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）A. -2B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解.【详解】先求与函数
3、的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（ ）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B【解析】【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，
4、故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题6. “”是“函数与函数为同一函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基
5、础题.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8. 等比数列中，且，成等差数列，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先设等比数列的公比为，根据，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，当且仅
6、当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解】由图像可知，则，因为棱长为，所以，故集合中的元素个数为，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向
7、量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算
8、即可【详解】，故，即，故故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12. 的展开式中，的系数为 （用数字作答）【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由，可得：
9、，求出函数的最大值即可.【详解】由，可得：，当时，当时，当且仅当时取等，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，则有圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简
10、单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；乙有可能抽到了2号小球；丙有可能抽到了8号小球；3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】所有编号之和为，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条
11、件下进行分析判断，即可得解.【详解】编号为1，2，3，9的小球所有编号之和为，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为，乙抽到的另外两个小球的编号分别为，则，所以的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与
12、4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故正确，错误，正确，故答案为：【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在中，_.求的值.从，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选：5；选：5或3；选
13、：或.【解析】【分析】如果选：利用正弦定理求出，再求出，利用正弦定理得解；如果选：先求出，再利用余弦定理求出；如果选：先求出，再利用余弦定理求解.【详解】如果选：因为，所以在中，由正弦定理得.所以.故.，所以.又因为，所以.所以.在中，.所以.如果选：因为，所以，由正弦定理得：.故，由余弦定理可得：，解得或3.如果选：，则，则，所以.当时，；当时，所以或.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1
14、）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取上的点，使得，证明且，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，求解三角形即可得出答案.【详解】（1）证明：四边形为正方形，平面平面，且平面平面，平面，则. （2）取上的点，使得，则且，且，则四边形为平行四边形，则且，由，可得，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角， 在中，求得，直线与平面所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18. 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与
15、空气质量等级对应关系如下表：空气质量等优良轻度污染中度污染中度污染严重污染AQI值范围300及以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：西部城市AQI数值东部城市AQI数值西安108北京104合肥90金门42克拉玛依37上海82鄂尔多斯56苏州114巴彦淖尔61天津105库尔勒456石家庄93合计：808合计：540（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望.（3）设东部城市的AQI数值的方差为，如
16、果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI数值的方差为，判断和的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望.（3）利用方差的意义以及计算公式即可判断.【详解】（1）东部城市共个，空气质量为良有个， 东部城市中任取一个，空气质量为良的概率. （2）空气质量“优”的城市有个，“轻度污染”的城市有个，根据题意的所有可能取值为，的分布列为： 所以.（3）如果将合肥纳入东部城市，可得【点
17、睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19. 已知函数（其中为常数）.（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；（2）若在上的最大值为，求的值.【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入，得到，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据在的单调性求出最大值等于，从而求出.【详解】（1）时，设切点为，则切线方程为点代入，化简解得.（2），当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；当即时，由得
18、，时，时，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，即，所以，不满足，舍去，综上所述， .【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到的问题.20. 椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得，再代入点即可得解；（2）联立方程组，结合韦达定理可得的中点，由直线方程转化条件为，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整
19、理得，故椭圆的方程为，由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意得直线的方程为，设，的中点，由，消去整理得，则，所以，所以点坐标为，假设在轴上存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与轴的交点.当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则，若，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以；若，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以；当时，则有.所以存在点满足条件，且的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）与，其
20、中，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同；线段，其中，则称与互为正交点列.（1）试判断与是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：不存在正交点列；（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列，是点列，的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明：，不存在正交点列；（3）有序整点列，是点列，的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案【详解】解：（1）有序整点列，与，互为正交点列.理由如下：由题设可知，因，所以，.所以整点列，与，互为正交点列.（2）证明：由题意可得，设点列，是点列，的正交点列，则可设，因为与，与相同，所以有因为方程不成立，所以有序整点列，不存在正交点列.（3）存在无正交点列的整点列.当时，设，其中，是一对互质整数，若有序整点列，是点列，的正交点列，则，由，得取，由于，是整点列，所以有，.等式中左边是3倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列.【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题
