1、阶段性教学质量检测试题高三数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷的答题卡内）1.已知集合，则等于 A.（1，2）B. 0，2C. D. 1，22.已知条件，条件，则是成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画,出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 A. B. C. 4 D. 4.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为
2、，则的值是 A . B. C . D. 5设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 6已知各项均不为零的数列,定义向量，. 下列命题中真命题是 A. 若总有成立，则数列是等差数列B. 若总有成立，则数列是等比数列C. 若总有成立，则数列是等差数列D. 若总有成立，则数列是等比数列7已知，、是共起点的向量，、不共线，则、的终点共线的充分必要条件是 ABCD8.的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 A0B2C4D69.已知简谐振动的振幅为，图象上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点，则该简谐振动的频率与初相分别为 A B C D 10设奇函数在上是增函数，且，则不等式
3、的解集为 A B C D11.设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 AB1C2D不确定12.已知函数，在定义域-2，2上表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为有以下命题：是奇函数；若在内递减，则的最大值为4；的最大值为，最小值为，则； 若对，恒成立，则的最大值为2其中正确命题的个数为 A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个第卷（共90分）题号二三总分171819202122得分得 分评卷人二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上）13.若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中
4、应填入的关于的条件是 . 14.已知则的值 .15设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为 . 16如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱始终与水面EFGH平行；当时，是定值.其中正确说法是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）得 分评卷人17.（本小题满分12分）已知向量，函数，且图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.（1）求的解析式；（2）在ABC中，是角A、B、C所对的边
5、，且满足，求角B的大小以及的取值范围.得 分评卷人18. （本小题满分12分）上海世博会深圳馆1号作品大芬丽莎是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画蒙娜丽莎，因其诞生于大芬村，因此被命名为大芬丽莎某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示分 组（单位：岁）频数频 率 50050 020035300300100100合 计100100（1）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这507名画师中年龄在岁的人数（结果取整数）；（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参
6、加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望得 分评卷人19. （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中 （I）求数列的通项公式; （II）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明得 分评卷人20.（本题满分12分）如图,在中，、分别为、的中点，的延长线交于。现将沿折起，折成二面角，连接.（I）求证：平面平面；（II）当时，求二面角大小的余弦值.得 分评卷人21.（本小题满分12分）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立. （
7、I）求双曲线的方程； （II）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.得 分评卷人22.（本小题满分14分）已知（1）求函数上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.高三数学（理科）参考答案一选择题 BCABD ADBCA CB二填空题 13；14. 15.8； 16.三、解答题17.解：（1） . -2分图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.，于是. -5分所以. -6分（2），-7分又，.-8分.于是，. -10分所以.-12分18.解：（1）处填20，处填0.350；507名画师中年龄在的人数为人，补全频率分布直方图如图
8、所示分（2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人.故的可能取值为0， 1，2； 所以的分布列为012P 所以. 12分19解：（)因为,即又,所以有,所以所以数列是公比为的等比数列. 3分由得, 解得.故数列的通项公式为. .6分（II）因，所以即数列是首项为,公比是的等比数列. 所以，.7分则又 . 8分法一：数学归纳法猜想当时，,上面不等式显然成立；假设当时，不等式成立当时，.综上对任意的均有.10分法二：二项式定理：因为,所以.即对任意的均有. .10分又, 所以对任意的均有. .12分20证明：（I）在，又E是CD的中点，得
9、AFCD. .3分折起后，AECD，EFCD，又AEEF=E，AE平面AED，EF平面AEF，故CD平面AEF，又CD平面CDB，故平面AEF平面CBD.5分（II）过点A作AHEF，垂足H落在FE的延长线上.因为CD平面AEF，所以CDAH，所以AH平面CBD. 6分以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系. .7分由（I）可知AEF即为所求二面角的平面角，设为，并设AC= ，可得 8分得 11分故二面角ACDB大小的余弦值为12分21解：（I）根据题意设双曲线的方程为2分且, 解方程组得所求双曲线的方程为6分 （II）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；7分当时，设又曲线上的两点M、N关于直线对称，.设直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组 , 消去得显然 即设线段MN中点为 则.在直线 10分即 即的取值范围是.12分22.解：（1）由已知知函数的定义域为，1分当单调递减，当单调递增.2分，没有最小值； 3分，即时，； 4分，即时，上单调递增，； 5分所以 6分（2），则，7分设，则， 单调递减， 单调递增，所以，对一切恒成立，所以；10分（3）问题等价于证明，11分由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，13分从而对一切，都有 成立 14分
