1、天津市南开中学滨海生态城学校2020届高三数学下学期第三次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共45分）1.已知集合，或，则（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】A【解析】【详解】由并集的定义可得或.故选A.2.若 ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】.分子分母同时除以，即得：故选D.3.数列满足：，若数列是等比数列，则值是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列为等比数列 即：上式恒成立，可知： 本题正确选项：【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键
2、是能够通过对应项系数相同求解出结果.4.偶函数在上递增，则大小为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系.【详解】，由于为偶函数，则，由于在上递增，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查对数函数的性质，属于基础题.5.以下关于的命题，正确的是A. 函数在区间上单调递增B. 直线需是函数图象的一条对称轴C. 点是函数图象的一个对称中心D. 将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项，函数先增后减，错误B
3、选项，不是函数对称轴，错误C选项，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6.圆的圆心到直线的距离为，则a的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，圆的圆心为，到直线的距离为.故选：B【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查根据圆的标准方程求圆心，属于基础题.7.过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点
4、），则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.为线段的中点，则为等腰三角形.由双曲线的的渐近线的性质可得，即.双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)8.在平行四边形中，分别是的中点，与交于，则的值A. B. C. D. 【答案】D【解
5、析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出，从而可计算.【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则， 故，所以，由可得，故，故选D.【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量9.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是A. B.
6、 C. D. 【答案】B【解析】分析】设，则是的图象沿着上下平移得到，分析函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可【详解】设，则是的图象沿着上下平移得到，当x=1时，（1）（1），所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0,当x=2时，（2），所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=2时，（2），所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,要使方程恰有三个不相等的实数解，则等价为与的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即，即实数的取值范围是，故选【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考
7、查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每小题5分，共30分）10.已知复数，为虚数单位，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】,，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.曲线在点处的切线斜率为_.【答案】12【解析】【分析】求出原函数的
8、导函数，求得x=1时的导数值得答案【详解】由题意可得：,曲线在点处的切线斜率为12，故答案为12【点睛】本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题12.二项式的展开式中常数项为_【答案】【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第项为，令，则，考点：二项式定理13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .【答案】24【解析】试题分析：设正方体外接球的半径为,由：，解得：,设该正方体的边长为，根据解得，所以正方体的表面积为：，所以答案为.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3
9、.球的表面积和体积公式.14.已知首项与公比相等的等比数列中，若，满足，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.【详解】设等比数列公比为，则首项由得：则： 则（当且仅当，即时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.15.已知函数满足，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先作函数图象，结合图象确定的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数有
10、个零点所需满足的条件.【详解】先作函数图象，由图可得有两根，其中，因此必有两根,因此要使函数有个零点，需有两根,即，【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题16.中，D是BC上的点，AD平分BAC，面积是面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），由正弦定理可知.（2），设，则，在与中，由余弦定理可知，解得，即考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用17.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面
11、PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1） 取的中点，连结，由题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为试题解析：（1）取中点，连结，因为为的中点，所以,由得，又所以四边形为平行四边形， 又，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABC
12、D的法向量，所以，即（x-1）+y-z=0又M在棱PC上,设由，得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算（2）设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角18.已知椭圆经过点离心率（）求椭圆的方程；（）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不
13、存在，说明理由.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据椭圆经过点，离心率，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线的方程为， 代入椭圆方程整理得，求得的坐标为，求出 ,利用韦达定理化简可得，从而可得结果.【详解】（1）由在椭圆上，. 由已知得， 又，. 代入解得.椭圆的方程为. （2）假设存在常数，使得向量共线，即. 由题意可设的斜率为，则直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得，设，则有，. 在方程中令得，的坐标为.从而，. , 代入得，又，. 故存在常数符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在
14、性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，.求及使成立的最小正整数的值.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：由已知条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列的通项公式；求出和的表达式，对题目中的不等式进行变形即可解答；解析：（1）设此等比数列首项为，公
15、比为，其中，由题意知：，得，即，等比数列单调递增，.（2）， ，设，则，得 ，要使成立，即，即，且是单调递增函数，满足条件的的最小值为5.20.设函数.（）求的单调区间；（）当时，试判断零点的个数；（）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.【答案】（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0.【解析】【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，利用导数求出的取值范围，从而
16、可得结果.【详解】（1），. 当时，在恒成立，在是单减函数. 当时，令，解之得.从而，当变化时，随的变化情况如下表： -0+ 单调递减单调递增由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. 综上，当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为. （2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数；又，. ，；故在有两个零点. （3）当，为整数，且当时，恒成立.令，只需； 又，由（2）知，在有且仅有一个实数根，在上单减，在上单增； 又，且，即代入式，得. 而在为增函数，即.而，即所求的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
