1、2016-2017学年内蒙古赤峰二中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分）1若集合A=x|12x+13，则AB=（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x12已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限3已知向量=（1，x），=（1，x），若2与垂直，则|=（）ABC2D44“x1”是“（x+2）0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（）A5BC5D6已知
2、三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面、，下列命题中正确命题个数为（）若mn，n，则m；若l，m且lm则若ln，mn，则lm若，=m，n，nm，则nA1B2C3D47若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A0BC1D28已知函数f（x）=2sin（2x）1，则下列结论中错误的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于直线x=对称Cf（x）在区间0，上是增函数D函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x1的图象向右平移个单位得到9已知三棱锥PABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A16B32C64D12810已知定义在R
3、上的函数f（x）满足：f（x）+xf（x）0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=2f（2）则（）AacbBcbaCcabDabc11一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A2BCD12已知函数f（x）=，g（x）=lnxx2+，实数a，b满足ab1，若x1a，b，x2（0，+），使得f（x1）=g（x2）成立，则ba的最大值为（）A2B2C2D3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1BFE的体积为14等差数列an中，a3=8，a7=20，若数列的前n项和为，
4、则n的值为15已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是16已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2ab）cosC（1）求角C的大小；（2）若AB=4，求ABC的面积S的最大值18从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的22列联表：优秀一般合计男生76女生512合计（1）试问有没有90%的把握认为优秀一般与性别有关；（2）用样本估计总体，把频率作为概
5、率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取3人，用表示所选3人中优秀的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望，.，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819如图，四棱锥PABCD中，ABC=BCD=90，AB=2，CD=CB=CP=1点P在底面上的射影为线段BD的中点M（）若E为棱PB的中点，求证：CE平面PAD；（）求二面角APBC的平面角的余弦值20已知F1、F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）O是以F1F2
6、为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B当=，且，求AOB面积S的取值范围21已知函数f（x）=ex1，g（x）=ax2+x（a1）（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直，求实数a的值；（2）当x1时，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做就按所做的第一题计分22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（）求C的普通方程和l的倾斜角；（）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|23设函数f（x）=
7、|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值2016-2017学年内蒙古赤峰二中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分）1若集合A=x|12x+13，则AB=（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2Dx|0x1【考点】交集及其运算【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到AB的值【解答】解：A=x|12x+13=x|1x1，=x|0x2故AB=x|0x1，故选B2已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A第四象限B第三象限C第
8、二象限D第一象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限故选：B3已知向量=（1，x），=（1，x），若2与垂直，则|=（）ABC2D4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求|【解答】解，2=（3，x），由3（1）+x2=0，解得x=，或x=，或，|=，或|=故选C4“x1”是“（x+2）0”的（）A充要条件
9、B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【分析】解“（x+2）0”，求出其充要条件，再和x1比较，从而求出答案【解答】解：由“（x+2）0”得：x+21，解得：x1，故“x1”是“（x+2）0”的充分不必要条件，故选：B5已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（）A5BC5D【考点】等比数列的性质【分析】先由“log3an+1=log3an+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）得到a5+a7
10、+a9=q3（a2+a4+a6）求解【解答】解：log3an+1=log3an+1an+1=3an数列an是以3为公比的等比数列，a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=933=35故选A6已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面、，下列命题中正确命题个数为（）若mn，n，则m；若l，m且lm则若ln，mn，则lm若，=m，n，nm，则nA1B2C3D4【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用线面平行的判定定理即可得出；利用面面垂直的判定定理即可判断出；利
11、用线线的位置关系即可得出；利用面面垂直的性质定理即可得出【解答】解：若mn，n，则m或m，因此不正确；若l，m且lm，利用面面垂直的判定定理可得：，正确；若ln，mn，则lm、相交或为异面直线，因此不正确；若，=m，n，nm，利用面面垂直的性质定理即可得出：n，因此正确综上可知：只有正确故选：B7若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A0BC1D2【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数定义可得f（x）f（x），化简可求【解答】解：f（x）=1+1，因为f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x），即+1=（1+），2=m，即m=2，故选D8已知函数f（x）=2sin（2x）1，则下列结论
12、中错误的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于直线x=对称Cf（x）在区间0，上是增函数D函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x1的图象向右平移个单位得到【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性【分析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性，y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x）1，由于它的最小正周期为，故A正确；当x=时，f（x）=2sin（2x）1=1，函数取得最大值，故f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；在区间0，上，2x，故f（x）在区间0，上是增函数，故C正确由于把g（x）=2s
13、in2x1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x）1=2sin（2x）1的图象，故D错误，故选：D9已知三棱锥PABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A16B32C64D128【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】根据已知求出ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积【解答】解：底面ABC中，AB=AC=2，BC=6，cosBAC=sinBAC=，ABC的外接圆半径r=2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥PABC外接球的表面积S=4R2=64故选：C10已知
14、定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+xf（x）0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=2f（2）则（）AacbBcbaCcabDabc【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造辅助函数，由F（x）0恒成立，则F（x）在R上单调递增，即可可得3f（3）2f（2）f（1），求得acb，【解答】解：由f（x）+xf（x）0，则xf（x）0，设F（x）=xf（x），则F（x）0恒成立，F（x）在R上单调递增，则F（3）F（2）F（1），即3f（3）2f（2）f（1），acb，故选A11一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A2BCD【考点】由三视图求面积、
15、体积【分析】根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为DBD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=故选：D12已知函数f（x）=，g（x）=lnxx2+，实数a，b满足ab1，若x1a，b，x2（0，+），使得f（x1）=g（x2）成立，则ba的最大值为（）A2B2C2D3【考点】函数的图象【分析】求出g（x）max=g（1）=3，令t=x1（t0），设h（t）=2（t），作函数y=f（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=1或t=4，即可得出结论【解答】解：g
16、（x）=lnxx2+，g（x）=，0x1时X，g（x）0；x1时，g（x）0，g（x）max=g（1）=3f（x）=2+（x1），令t=x+1（t0），设h（t）=2+（t），作函数y=h（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=1或t=4，ba的最大值为3故答案为：3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1BFE的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由，利用等积法能求出三棱锥B1BFE的体积【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，
17、三棱锥B1BFE的体积：=故答案为：14等差数列an中，a3=8，a7=20，若数列的前n项和为，则n的值为16【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出a1=2，d=3，从而=（），进而得到数列的前n项和为Sn=（），由此利用数列的前n项和为，能求出n的值【解答】解：等差数列an中，a3=8，a7=20，解得a1=2，d=3，an=2+（n1）3=3n1，=（），数列的前n项和为：Sn=（）=（），数列的前n项和为，=，解得n=16故答案为：1615已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是2【考点】简单线性规划；平面向量
18、数量积的运算【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积的公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 =x+y，设z=x+y，则y=x+z，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由得，得A（0，2），此时z=0+2=2，故的最大值是2，故答案为：216已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由偶函数的定义，可得f（x）=f（x），即有x0时，f（x）=lnx3x，求
19、出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），当x0时，f（x）=ln（x）+3x，即有x0时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）=2（x1），即为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2ab）cosC（1）求角C的大小；（2）若AB=4，求ABC的面积S的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，
20、再利用诱导公式变形，求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）由c与C的度数，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时三角形的形状即可【解答】解：（1）ccosB=（2ab）cosC，由正弦定理可知，sinCcosB=2sinAcosCsinBcosC，即sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosC，sin（C+B）=2sinAcosC，A+B+C=，sinA=2sinAcosC，sinA0，cosC=，0C，C=；（2）由题可知c=AB=4，C=；SABC=absinC=ab，由余弦定理可知：a2+b2=c2+
21、2abcosC，即a2+b2=16+ab2ab，ab16，当且仅当a=b时取等号，SABC的最大值4，此时三角形为等边三角形18从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的22列联表：优秀一般合计男生76女生512合计（1）试问有没有90%的把握认为优秀一般与性别有关；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取3人，用表示所选3人中优秀的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望，.，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【考点】独立性
22、检验的应用；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据题意，填写22列联表，根据观测值K2，对照数表得出结论；（2）求出抽取1名学生是甲组学生的概率值，得出服从二项分布B（3，）；计算对应概率值，写出的分布列，计算数学期望E【解答】解：（1）填写22列联表，如下：甲组乙组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得K2=1.83，因为1.832.706，故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是甲组学生，抽取1名学生是甲组学生的概率为=，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，
23、抽取3名学生可以看出3次独立重复实验，于是服从二项分布B（3，）；显然的取值为0，1，2，3；且P（=k）=，k=0，1，2，3；所以得的分布列为：0123P数学期望E=3=19如图，四棱锥PABCD中，ABC=BCD=90，AB=2，CD=CB=CP=1点P在底面上的射影为线段BD的中点M（）若E为棱PB的中点，求证：CE平面PAD；（）求二面角APBC的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取AB中点为F，连结EF，CF，由题意知CFAD，EFAP，从而面CEF面PAD，由此能证明CE面PAD（）推导出CEPB，从而ADPD，进而PAPB，EFPB，则
24、CEF是二面角APBC的平面角，由此能求出二面角APBC的平面角的余弦值【解答】证明：（）取AB中点为F，连结EF，CF，E为棱PB的中点，ABC=BCD=90，AB=2，CD=CB=CP=1，由题意知CFAD，EFAP，CFEF=F，ADAP=A，CF、EF平面CEF，AD、AP平面PAD，面CEF面PAD，CE平面CEF，CE面PAD解：（）点P在底面上的射影为线段BD的中点M，且MC=MB=MF=MD，故PC=PB=PF=PD=BC，CEPB，又由CF平面PBD，AD平面PBD，ADPD，AP=，BA=2，PB=1，PAPB，EFPB，CEF是二面角APBC的平面角，在EFC中，EF=C
25、E=，CF=，cos，二面角APBC的平面角的余弦值为20已知F1、F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B当=，且，求AOB面积S的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程（）由圆O与直线l相切，知=1，联立直线与椭圆，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k20，由此能推导出AOB的面积S的取值范围【解
26、答】解：（）点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为， =，a=，b=1，椭圆的标准方程为；（）圆O与直线l相切，=1，即m2=k2+1，联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，=（4km）24（1+2k2）（2m22）0，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，k21，S=SABO=， 设u=k4+k2，则，S=，u，2，S关于u在，2单调递增，S（）=，S（2）=，S21已知函数f（x）=ex1，g（x）=ax2+x（a1）（1）曲线f
27、（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直，求实数a的值；（2）当x1时，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据题意，对f（x）求导，可得f（x）=ex1+，进而可得f（1）的值，由互相垂直的直线斜率之间的关系可得f（1）（）=1，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，将f（x）g（x）转化为 xex1ax3x2+（a1）x+0，可以设h（x）=xex1ax3x2+（a1）x+，对其求导可得h（x）=（x+1）ex1ax2x+a1=（x+1）ex1a（x1）1，（x1），再设k（x）=ex1a（x
28、1）1，求出k（x）的导数分情况讨论h（x）0是否成立，综合可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）=ex1，则其导数f（x）=ex1+，则有f（1）=1+，若曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直，则有f（1）（）=1，解可得a=；（2）根据题意，由f（x）g（x）可得：f（x）g（x）0，即（ex1）ax2+x（a1）= xex1ax3x2+（a1）x+0，设h（x）=xex1ax3x2+（a1）x+，（x1），若f（x）g（x），必有h（x）0，h（x）=（x+1）ex1ax2x+a1=（x+1）ex1a（x1）1，（x1），设k（x）=ex1a（x1）1，则k（x）=
29、ex1a，、当a1时，k（x）0对x1成立，又由k（1）=0，故k（x）0，即h（x）0成立，又h（1）=0，故有h（x）0；、当a1时，由k（x）=0，解可得x=1+lna1，当x（1，1+lna）时，k（x）0，又由k（1）=0，故k（x）0，即h（x）0成立，又h（1）=0，故h（x）0，不合题意；综上可得：a的取值范围是（，1请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做就按所做的第一题计分22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（）求C的普通方程和l的倾斜角；（）设点P（0，2），l和C交于A，B两点
30、，求|PA|+|PB|【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程【分析】解法一：（）由参数方程消去参数，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角（）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可解法二：（）同解法一（）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【解答】解法一：（）由消去参数，得，即C的普通方程为由，得sincos=2，（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的
31、倾斜角为 （）由（）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t10，t20，所以解法二：（）同解法一（）直线l的普通方程为y=x+2由消去y得10x2+36x+27=0，于是=36241027=2160设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以x10，x20，故23设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=时，根据f（x）= 的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3lne=1，不等式得证（）由绝对值三角不等式可得 f（x）|a|，可得|a|a，由此解得a的范围【解答】解：（）证明：当a=时，f（x）=|x|+|x+|= 的最小值为3，lnf（x）最小值为ln3lne=1，lnf（x）1成立（）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x|+|xa|（x）（xa）|=|a|，再由不等式f（x）a在R上恒成立，可得|a|a，aa，或 aa，解得a，故a的最大值为2017年4月8日
