1、北京市第五中学2020-2021学年高一数学上学期阶段测试试题（含解析）一、选择题1. 集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解.【详解】，.故选：B2. 满足条件1=1，2，3的集合的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据集合的运算可知，当集合中，只有两个元素时，此时；当集合中，只有三个元素时，此时,所以集合的个数为两个，故选B考点：集合的并集3. 设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A
2、【解析】试题分析：若四边形为菱形，则对角线；反之若，则四边形为正方形或菱形或等腰梯形，故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件，选A.考点：平行四边形、菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题.4. 下列说法中错误的是（ ）A. 不等式恒成立B. 若，则C. 若，满足，则D. 存在，使得成立【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式，逐个分析判断，即可得解【详解】对A，若，则不等式不成立，故A错；对B，若，则，故B正确；对C，若，满足，则，故C正确；对D，若，使得成立，故D正确.故选：A.5. 对于任意实数，以下四个命题中正确的有（ ）若，则 若则若则 若，则A. 4个B. 3个C. 2个D.
3、 1个【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质，逐个分析即可得解【详解】对，若，则有，所以，故正确；对，若根据不等式性质有，故正确；对，若若则，故错误； 对，若，若同号，则，故错误.故选：C.6. 关于的一元二次方程的两个实根的平方和为4，则实数的值（ ）A. 4B. -10C. 2D. -10或2【答案】C【解析】【分析】用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得【详解】方程有实根，则，解得或，设方程的两根为，则，解得（舍去）故选：C【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的
4、范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解7. 已知集合，若，则实数的值为（ ）A. -1B. -3C. -3或-1D. 无解【答案】B【解析】【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.详解】若，可得当时，解得，此时，不满足集合的互异性，故（舍去），当，解得（舍去）或，此时，满足题意，故实数的值为-3.故选：B【点睛】本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.8. 已知集合的子集只有两个，则实数的值为（ ）A. B. 0C. 或0D. 无解【答案】C【解析】【分析】根据集合的子集有两个，则集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.【详解】由集
5、合的子集有两个，则集合有一个元素，当时，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，故选：C9. 关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得【详解】不等式化为，时，不等式无解，时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，综上的取值范围是故选：C【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数一元二次不等式需要分类讨论才能求解分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得
6、出不等式的解10. 设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“”(即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素与之对应.)若对任意的，有，则下列等式不能恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据新定义的集合运算即可得答案.【详解】解：根据定义对任意的，有，故对于A选项，不满足新定义的形式 ，故其不一定恒成立，故A选项不正确；对于B选项，故B选项正确；对于C选项，满足定义，故C选项正确；对于D选项，把看成一个整体 ，故，故正确.故选：A.二、填空题共5题，每题4分，共20分.11. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】直接解不等式得到答案.【详解】
7、，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了解不等式，属于简单题.12. 已知不等式的解集为，则的值为_【答案】0【解析】【分析】根据不等式解集得对应方程的根，解得结果.【详解】由题意得，为方程的根故答案为：0【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知 50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.【答案】25【解析】试题分析：根据题意可设,并将两种实验都做对的学生记为人,则可用文氏图将其关系表示如下:结合文氏图及题意知:,解之得:,故两种实验都做对的学生为
8、25人.考点：集合间包含关系的判断和应用.14. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_后池水中药品的浓度达到最大.【答案】2【解析】C5当且仅当且t0，即t2时取等号考点：基本不等式，实际应用15. 已知是同时满足下列条件的集合：；若，则；且，则.下列结论中正确的是_.（1）；（2）；（3）若，则；（4），则【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据该集合的条件可得，即得；（2）由（1）可得；（3）根据条件可得，即得证；（4）可得出当时，则.【详解】（1）由，则由，由得，故（1）正确；（2）由（1）可知，故
9、（2）错误；（3）由知，即，故（3）正确；（4），则，由可得，即，即，；由（3）可知当， 当，可得，故（4）正确.故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】关键点睛：本题考查元素与集合的关系，解决本题的关键是理解清楚该集合的三个条件，合理的利用好三个条件进行求解，根据有限的元素求出更多该集合中的元素.三、解答题16. 解下列关于的不等式（1）（2）【答案】（1）；（2）若，解集为或，若，解集为，若，解集为或.【解析】【分析】（1）转化为一元二次不等式即可得解；（2）由三个一元二次之间的关系，令，可得或，根据根的大小进行分类讨论即可得解.【详解】（1）由可得，即：，解得：，故解集为；（2）由可得：，
10、令，可得或，若，解集为或，若，解集为，若，解集为或.17. 已知集合，（1）若，求的范围（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得集合，由交集结论得，由子集定义得出结论；（2）问题等价于，这时需讨论的情形【详解】（1）由题意，若，则，解得；（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，若即时，若，则，解得综上的取值范围是【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合
11、与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含18. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米.（1）要使矩形的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内？（2）求当的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.【答案】（1）；（2）米时，花坛的面积取得最小值48平方米【解析】【分析】利用平行线性质求出，然后用表示出的面积，（1）解不等式可得；（2）由基本不等式求得最小值【详解】由题意，所以，即，所以矩形的面积为（1），解得或综上或，所以的长在上（2），当且仅当，即时等号成立，所以米时，取得最小值48平方米【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，解题关键引入变量，求出函数解析式本题利用平行线性质求出边长后得出面积的表达式，即函数式，然后通过配凑法应用基本不等式求得最小值解题中注意变量的取值范围
