1、江苏省高邮中学2020至2021学年高三年级十二月份阶段测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则( ) 2i是虚数单位，复数( ) A B C D3对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A. B. C.D.4已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）5已知，则( )Aabcd Bacbd Cdbac Dbadc6已知菱形ABCD中，ABC120，AC，若，则( )A B C D7.直线过点且与圆交于、两点，若，则直线
2、的方程为（ ）A. B. C. 或 D. 或8. 如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸟蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸟蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则( )A函数的图象关于直线对称 B函数的图象关于点对称 C函数在区间上单调递增 D函数在区间上有2个零点10.在长方体ABCDA1B1C1D1，若ABBC，E
3、，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A.EF与BB1垂直 B.EF平面BDD1B1C.EF与C1D所成的角为45 D.EF平面A1B1C1D1 11已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边AC上的点，且，E是AB 的中点，BD与CE交于点O，那么( )A B C D12在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则( )A函数为周期函数，且最小正周期为 B函数的图象关于点(2，0)对称C函数的图象关于直线x对称 D函数的导函数的最大值为4三填空题：本
4、大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知直线：和直线：.若，则与的距离为 14已知(，0)，sin()，则tan2的值为 15.圆：和圆：只有一条公切线，若，且，则的最小值为 16乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多 cm2四解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数.（1
5、）求的最小正周期和单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，若，求AM.18（12分）为推行“新课堂”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”分数50，59)60，69)70，79)80，89)90，100甲班频数56441乙班频数13655甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计(1)由以上统计数据填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优
6、良与教学方式有关”？附：，其中.临界值表：P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望19（12分）如图，在平面四边形中，且.（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值.20 (12分) 如图，三棱柱中，分别为，的中点（1）证明：直线/平面；（2），求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点、和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程; （2）过点的直
7、线和椭圆交于两点、，求面积的最大值.22（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围，并证明.江苏省高邮中学2020至2021学年高三年级十二月份阶段测试 数学试题答案 一、单项选择题：1-5.ABAAB 6-8.DDB二、多项选择题：9.ACD 10.ABD 11.AC 12BCD三、 填空题：13. 14. 15.4 1664四解答题：17. 解：（1）.令，所以增区间为； -5分（2）， ，所以. -10分18. 解：(1)由统计数据得22列联表：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据22列联表中的数据，得K2的观测值
8、为k5.2275.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”-6分(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为83，则X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列为：X0123P所以E(X)0123. -6分19解：（1）在中，由正弦定理得，. -5分 （2）设，在中，由余弦定理得.当时，四边形面积的最大值. -12分20证明：（1）设与交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以是是的中点，是的中点，所以.又因为是的中点，所以.所以，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以直线平面. -4分(2)因为，
9、所以平行四边形是菱形，所以.又因为，所以.又且是的中点，所以.又因为，所以，所以，故，从而两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，设，因为，所以是等边三角形，所以，.因为两两垂直，所以平面，所以是平面的一个法向量；设是平面的一个法向量，则，即，令,得，所以，所以 所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为 -12分 21. 解：（1）由条件，得b=，且，所以a+c=3. 又，解得a=2，c=1 所以椭圆的方程. -4分 （2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2).联立方程 ，消去x 得, ，因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交. = 令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增所以当t=1即m=0时，,取最大值3. -8分22.解：（1），当时，在单调递减；当时，令，得，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增. -4分（2）由已知得，令，得或.要使函数有三个极值点，须有三个不相等实数根，从而有两个异于2的实根.不妨设，由（1）知：，且，从而.而当时，；由零点存在定理知.又当时，所以实数的取值范围是.要证，只需证.因为，是的两个实根，且，所以，从而，所以，令，则，.要证式成立，只需证，即证，.令，则，所以在递增，所以，所以.命题得证. -12分
