1、45 函数的应用(二)45.3 函数模型的应用课程目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题；2.能建立函数模型求解实际问题 知识点一常见的函数模型常用函数模型一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)分段函数模型y 知识点二应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型(2)建模将自然语言转化为数学语言
2、，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模求解数学模型，得出数学模型(4)还原将数学结论还原为实际问题 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有数据完全符合该函数模型()(2)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符()(3)用函数模型预测的结果必须和实际结果相符合.()(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验()【解析】 (1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不符合该函数模型 某城市2020年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该
3、城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).(参考数据：1.01291.113，1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301，lg 1.0120.005)解：(1)2020年底人口总数为100万人，经过1年，2021年底人口总数为1001001.2%100(11.2%)(万人)，经过2年，2022年底人口总数为100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2(万人)，经过3年，2023年底人口总数为100(11.2%)210
4、0(11.2%)21.2%100(11.2%)3(万人)，所以经过x年后，该城市人口总数为100(11.2%)x(万人)，所以y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(11.2%)10112.7(万人).(3)由题意得100(11.2%)x120，即lg 100(11.2%)xlg 120，整理得，2x lg 1.0122lg 1.2，解得x16.所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人规律方法有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式yN(1p)x来表示解决平均增长率的问题，常用到这个函数模
5、型 活学活用某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数解析式yf(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效求服药一次治疗疾病的有效时间解：(1)当t0，1时，函数的解析式为ykt.将M(1，4)代入，得k4，所以y4t；当t(1，)时，因为函数的解析式为y.将(3，1)代入，得a3，所以y.综上，yf(t)(2)当0t1时，由f(t)0.25得4t0.25，得t1；当t1时，由f(t)0.25得0.25，解得1t5.综上可知
6、，当t5时，药物对治疗疾病有效，所以服药一次治疗疾病的有效时间为54(小时). 人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量中常用声音的强度水平L表示，它们满足关系式L10lg (单位为分贝，L0，I011012 W/m2，I0是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，求声音强度I的范围解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强
7、度是I111012 W/m2，则1，所以L110lg 10，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I211010 W/m2，则102，所以L210lg 10220，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I31108 W/m2，则104，所以L310lg 10440，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝(2)由题意知，0L50，即010lg 50，所以1105，所以1012I107.故声音强度I的范围是1012，107). 活学活用某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(D)Ay2tBy2t2C
8、yt3 Dylog2t【解析】 由图形知该函数可能是ylog2t. 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(精确到0.01万元).解：以投资金额为横轴，纯利润为纵轴，分别在平面
9、直角坐标系中画出图象，如图所示由图1可以看出，A种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟取(4，2)为最高点，则yAa(x4)22(a0)，再把点(1，0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以yA0.15(x4)22；由图2可以看出，B种商品所获纯利润y与投资金额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟设yBkxb(k0)，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入，得解得所以yB0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12x)万元，总利润为W万元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x).所以W0.
10、15(x3)24.55.当x3时，W取得最大值，约为4.55万元，此时B商品的投资为9万元故该经营者第七个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元 活学活用某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb；f(x)2xa；f(x)logxa.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出
11、相应的解析式；(2)因受新冠肺炎疫情的影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量解：(1)最适合的函数模型为f(x)axb，理由如下：若模型为f(x)2xa，则由f(1)2a4，可知a2，即f(x)2x2，则f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知数据相差很大，不符合若模型为f(x)logxa，则f(x)是单调递减函数，与已知数据不相符，故符合的模型为f(x)axb.由题意可得解得a，b，所以f(x)x，xN*.(2)2020年的年产量为10(130%)7(万件)，所以2020年的年产量为7万件规律方法1对于此类实际应用问题，关键是建立适当
12、的函数解析式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题2函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据1某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是(C)Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x【
13、解析】 当x1时，排除选项B；当x2时，排除选项D；当x3时，排除选项A.故选C.2经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(40v120)的数据如下表：v406090100120Q5.268.3251015.6为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v)0.04v3.6，Q(v)0.5va，Q(v)0.000 025v30.004v20.25v.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是60，90)，90，110)，110，120(单位：km/h).为使百公里耗油量W(单位
14、：L)最小，该型号汽车行驶的车道与速度为(A)A在外侧车道以80 km/h行驶B在中间车道以90 km/h行驶C在中间车道以95 km/h行驶D在内侧车道以115 km/h行驶【解析】 由图表中的数据分析可知耗油量随速度增加而增加，故Q(v)0.5va不符合题意；若选择模型Q(v)0.04v3.6，则Q(90)7.2，Q(100)7.6，Q(120)8.4，与实际数据差距较大；若选择Q(v)0.000 025v30.004v20.25v，则Q(40)5.2，Q(60)6，Q(100)10，因此选择Q(v)0.000 025v30.004v20.25v，WQ(v)0.002 5v20.4v250
15、.002 5(v80)29，当v80时，W取最小值9，故选A.3我们可以把(11%)365看作每天的“进步”率都是1%，一年后的值是1.01365，而把(11%)365看作每天的“退步”率都是1%，一年后的值是0.99365，照此计算，若“进步”后的值是“退步”后的值的10倍，则需经过的天数为(参考数据：lg 1.010.004 32，lg 0.990.004 36)(C)A100 B108C115 D124【解析】 假设经过n天，由题意可知(11%)n10(11%)n，10，n115，故选C.4长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际
16、，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数100)来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下：(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0，100；(ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；(iii )调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：yx26x；y10；y10则满足此次联合调度要求的函数解析式是_(填序号).【解析】 由联合调度要求可知，定义域为0，100，值域为0，100，yx对任意的x0，100恒成立且在0，100上单调递增yx26x(x60)2180在0，100上不是单调函数，故不符合题意；y10在0，100上单调递增，值域为0，100，又因为10x(10)0对任意的x0，100恒成立，所以yx对任意的x0，100恒成立，故符合题意；y10x对任意的x0，100不恒成立，比如101050，故不符合题意5某市的房价(均价)经过5年时间从3 200元/m2增加到了9 600元/m2，则这5年间平均每年的增长率是_1_【解析】 设5年间平均年增长率为x，则有3 200(1x)59 600，解得x1.
