1、1.1.2集合间的基本关系 学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义 自学导引1一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)2如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB.3如果AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)4不含任何元素的集合叫做空集，记作.5空集是任何集合的子集
2、，空集是任何非空集合的真子集.一、写出给定集合的子集例1(1)写出集合0,1,2的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题.原集合子集子集的个数a.a，ba.，b，c由此猜想：含n个元素的集合a1，a2，an的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集数呢？解(1)不含任何元素的集合：；含有一个元素的集合：0，1，2；含有两个元素的集合：0,1，0,2，1,2；含有三个元素的集合：0,1,2故集合0,1,2的所有子集为，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2其中除去集合0,1,2，剩下的都是0,1,2的真子集(2)原集合子集子集的个数1a，a 2a.，b，a
3、. ，b，a，b.4a.，b，c，a. ，b，c，a.，b，a.，c，b，c，a.，b，c8这样，含n个元素的集合a1，a2，a.n的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n1，非空真子集数是2n2.点评(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n1)个真子集，(2n1)个非空子集，(2n2)个非空真子集变式迁移1已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5，写出集合M.解由已知条件知所求M为：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,
4、5，1,2,3,4,5 二、集合基本关系的应用例2已知集合Ax|1ax2，Bx|x|0时，A.AB，a2(3)当a.0时，A.AB，a2.综合(1)(2)(3)知，a的取值范围a|a2或a0或a2点评对集合A分类讨论是解决此类题目的关键，注意不要忽视对A的讨论变式迁移2已知Ax|x25x60，Bx|mx1，若BA，求实数m所构成的集合M.解由x25x60得x2或x3.A2,3由BA知B或B2或B3若B，则m0；若B2，则m；若B3，则m.M. 三、集合相等关系的应用例3已知集合A2，x，y，B2x,2，y2且AB，求x，y的值解方法一AB集合A与集合B中的元素相同或，解得x，y的值为或或验证得
5、，当x0，y0时，A2,0,0这与集合元素的互异性相矛盾，舍去x，y的取值为或方法二MN，M、N中元素分别对应相同即集合中元素互异，x、y不能同时为0.y0.由得x0或y.当x0时，由知y1或y0(舍去)；当y时，由得x.或点评集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解变式迁移3含有三个实数的集合可表示为，也可表示为a2，ab,0，求a.，b.解由集合相等得：0，易知a0，0，即b0，a21且a.2a.a.1.综上所述：a1，b0.1元素、集合间的关系用符号“”或“”表示，集合、集合间的关系用“”、“”、“”或“”等表示2在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B，0，1，0,1
6、，则此时1B而不能是1B.3解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当AB时，AB或AB.(2)判断两个集合间的关系：用列举法表示两个集合再判断；分类讨论(3)解数集问题学会运用数轴表示集合(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示一、选择题1下列命题空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A时，则A，其中正确的个数是()A0B1C2D3答案B解析仅是正确的2已知集合Ax|a1xa2，Bx|3x5，则能使AB成立的实数a.的取值范围是()Aa|3a4 Ba|3a4Ca|3a4 D答案B解析结合数轴由图可知AB，3a43设B1,2，Ax|xB，则A与B的关系是(
7、)AAB BBA CAB DBA答案D解析B的子集为1，2，1,2，Ax|xB1，2，1,2，BA.4若集合Ax|xn，nN，集合B，则A与B的关系是()AAB BAB CAB DAB答案A5在以下六个写法中：00,1；0；0，1,11,0,1；0；Z正整数；(0,0)0，其中错误写法的个数是()A3个 B4个 C5个 D6个答案B二、填空题6若B0,1,2,3,4,7,8，C0,3,4,7,9，则满足AB，AC的集合A有_个答案167设Mx|x210，Nx|ax10，若NM，则a的值为_答案1或08若x|2xa0，aNx|1x0，所以B必不为空集当B2时，需2a14和a2a4同时成立，不存在a.的值当B3时，需2a16和a2a9同时成立，不存在a的值当B2,3时，需2a15和a2a.6同时成立，所以a2.综上所述：a2.方法二Ax|x25x602,3，Bx|x2(2a1)xa2a0x|(xa.)(xa1)0a，a1，因为aa1，所以当BA时，只有a2且a13.所以a2.
