1、第四节二次函数与幂函数1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)
2、的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，x的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的
3、图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BCD9D3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.C4(2017贵阳适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是()A0B1 C2D4C5若二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：31222037】yx22x8求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式 【导学号：31222038】法一(利用一般式)：设f(x)ax2bx
4、c(a0).2分由题意得8分解得所求二次函数为f(x)4x24x7.12分法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.3分m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.8分f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.12分法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，2分故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.6分又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.12分用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下已知二次函数f(
5、x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.2分又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.10分所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.12分二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()A B CD(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意
6、x，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)D(2)，都有f(x)0，则有即解得m0.角度2二次函数的最值问题(1)(2017广西一模)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为()A4B3C1D0(2)(2017安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间上的最大值为2，则a的值为() 【导学号：31222039】A2B1或3C2或3D1或2(1)A(2)D上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1
7、，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间上是增函数，f(x)maxf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x上恒小于零，则实数a的取值范围为_上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2.因为(，11.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.幂函数的图象与性质(
8、1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()ABCD(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)C(2)11.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.(1)设a0.5，b0.9，clog50.3，则a，b，c的大小关系是()AacbBcabCabcDbac(2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_(1)D(2
9、)1二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便2研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较4幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立1对于函数yax2bxc，若
10、是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明a0时，就要分a0，a0两种情况讨论2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k() 【导学号：31222040】A.B1C.D2C2函数f(x)2x2mx3，当x时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3B13 C7D5B3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不过原点，则m的取
11、值是()A1m2Bm1或m2Cm2Dm1B4已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是() 【导学号：31222041】ABCDD5若函数f(x)x2axa在区间上的最大值为1，则实数a等于()A1B1 C2D2B二、填空题6(2017上海八校联合测试改编)已知函数f(x)ax22ax1b(a0)若f(x)在上的最大值为4，最小值为1，则a_，b_.10上单调递增，所以即解方程得a1，b0.7已知P2，Q3，R3，则P，Q，R的大小关系是_. 【导学号：31222042】PRQ8对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_(4,4)三、解答题
12、9已知幂函数f(x)x(m2m)1(mN*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围幂函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1，m2m2，解得m1或m2.4分又mN*，m1.f(x)x则函数的定义域为时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在上的最大值为1，求实数a的值(1)当a2时，f(x)x23x3，x，对称轴x，2分f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，值域为.5分(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a满足题意；8分当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a
13、1满足题意综上可知a或1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017江西九江一中期中)函数f(x)(m2m1)x4m9m51是幂函数，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，ab0，则f(a)f(b)的值() 【导学号：31222043】A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断A2设f(x)与g(x)是定义在同一区间上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在x上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在上是“关联函数”，则m的取值范围为_上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数y
14、m与yx25x4(x)的图象如图所示，结合图象可知，当x时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x)的图象有两个交点3已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间上恒成立，试求k的范围(1)由题意知解得2分所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为.6分(2)由题意知，x22x1xk在区间上恒成立，即kx2x1在区间上恒成立，8分令g(x)x2x1，x，由g(x)2知g(x)在区间上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，即k的取值范围是(，1).12分
