1、9.8曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y).(3)列式列出动点P所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点(1)由曲线
2、方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件.()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线.()2.
3、方程(x2y24)0的曲线形状是()答案C解析由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分.3.已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A.2xy10B.2xy50C.2xy10D.2xy50答案D解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.4.已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹方程是_.答案y2x解析(3x，y)，(2x，y)，(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.5.已知两
4、定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_.答案4解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4.题型一定义法求轨迹方程例1已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.思维启迪利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解.解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建
5、立平面直角坐标系.由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (x).思维升华求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.已知点F，直线l：x，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案D解
6、析由已知得，|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线.题型二相关点法求轨迹方程例2设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程.思维启迪设ABC的重心坐标为G(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求.解设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.由于G(x，y
7、)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a).又点C与A，B不重合，x(62)a，ABC的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(62)a).思维升华“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)
8、，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.题型三直接法求轨迹方程例3(2013陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.思维启迪(1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.(1)解
9、如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b
10、)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0).思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A， l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解设点M的坐标为(x，y)，M是线段AB的中
11、点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y).(2x2，4)，(2,2y4).由已知0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.线段AB中点M的轨迹方程为x2y50.分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(12分)已知抛物线y22px经过点M(2，2)，椭圆1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，(0)，试求Q的轨迹.思维启迪由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类
12、标准进行讨论，讨论时注意表述准确.规范解答解(1)因为抛物线y22px经过点M(2，2)，所以(2)24p，解得p2.2分所以抛物线的方程为y24x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c1.又椭圆的离心率为，所以a2，可得b2413，故椭圆的方程为1.6分(2)设Q(x，y)，其中x2,2，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，所以1，解得y3x2.由可得2，故2.得(2)x22y23，x2,2.9分当2，即时，得y212，点Q的轨迹方程为y2，x2,2，此轨迹是两条平行于x轴的线段；当2，即0，即时，得到1，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x2,2的部分.12分温馨提醒此
13、题求轨迹既有直接法，又有相关点法.求出轨迹方程后，容易忽略x的范围，导致轨迹图形出错.备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据
14、定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.失误与防范1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选
15、择题1.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)0的解”是正确的，则下列命题中正确的是()A.满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上B.方程f(x，y)0是曲线C的方程C.方程f(x，y)0所表示的曲线不一定是CD.以上说法都正确答案C解析曲线C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确.2.设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆答案A解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C
16、到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线.3.设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()A.y22xB.(x1)2y24C.y22xD.(x1)2y22答案D解析由题意知P到圆心(1,0)的距离为，P的轨迹方程为(x1)2y22.4.ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1B.1C.1 (x3)D.1 (x4)答案C解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，
17、实轴长为6的双曲线的右支，方程为1 (x3).5.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A、B，若ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A.直线B.圆C.椭圆 D.双曲线答案D解析设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于ABP为正三角形，P到y轴的距离dR，即|x|R.而R|PF|，|x|.整理得(x3a)23y212a2，即1.点P的轨迹为双曲线.二、填空题6.设P是圆x2y2100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为_.答案椭圆解析如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|PM|，又由于10|OP|OM|MP|OM|M
18、A|，即|OM|MA|10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0 )的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆.7.已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点 A的轨迹方程为_.答案(x10)2y236(y0)解析设A(x，y)，则D(，)，|CD| 3，化简得(x10)2y236，由于A、B、C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.8. P是椭圆1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_.答案1解析由于，又22，设Q(x，y)，则 (，)，即P点坐
19、标为(，)，又P在椭圆上，则有1上，即1.三、解答题9.已知曲线E：ax2by21(a0，b0)，经过点M(，0)的直线l与曲线E交于点A，B，且2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程.解设A(x0，y0)，B(0,2)，M(，0)，故(，2)，(x0，y0).由于2，(，2)2(x0，y0).x0，y01，即A(，1).A，B都在曲线E上，解得.曲线E的方程为x21.10.已知点P是圆O：x2y29上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使()(O是坐标原点).若存在，求出直线M
20、N的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，则点D的坐标为D(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)，又，即.P在圆O上，故xy9，1.点Q的轨迹方程为1.(2)存在.假设椭圆1上存在两个不重合的点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足()，则E(1,1)是线段MN的中点，且有，即.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆1上，两式相减，得0.kMN，直线MN的方程为4x9y130.椭圆上存在点M、N满足()，此时直线MN的方程为4x9y130.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)0上，则方程f(x，y
21、)f(x0，y0)0表示一条()A.过点P且平行于l的直线B.过点P且垂直于l的直线C.不过点P但平行于l的直线D.不过点P但垂直于l的直线答案A解析由题意知f(x0，y0)0，又f(x0，y0)f(x0，y0)0，直线f(x，y)0与直线f(x，y)f(x0，y0)0平行，且点P在直线f(x，y)f(x0，y0)0上.2.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线答案A解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一条直线.3.点P是以
22、F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案A解析如图，延长F2M交F1P延长线于N.|PF2|PN|，|F1N|2a.连接OM，则在NF1F2中，OM为中位线，则|OM|F1N|a.M的轨迹是圆.4.已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.答案x2y24 (x2)解析设P(x，y)，因为MPN为直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24 (x2).5.如图所示，
23、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AMAB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨 迹方程是_.答案y2x解析过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2|PM|21，得x211， 化简得y2x.6.如图，DPx轴，点M在DP的延长线上，且|DM|2|DP|.当点P在圆x2y21上运动时.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点T(0，t)作圆x2y21的切线l交曲线C于A、B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标.解
24、(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则xx0，y2y0，所以x0x，y0，因为P(x0，y0)在圆x2y21上，所以xy1.将代入，得点M的轨迹C的方程为x21.(2)由题意知，|t|1.当t1时，切线l的方程为y1，点A、B的坐标分别为(，1)，(，1)，此时|AB|，当t1时，同理可得|AB|；当|t|1时，设切线l的方程为ykxt，kR，由得(4k2)x22ktxt240.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由得x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即t2k21，所以|AB| .因为|AB|，且当t时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2y21的半径，所以AOB面积S的最大值为211，此时t，相应的点T的坐标为(0，)或(0，).
