1、2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|1x1，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，1C1，1D2，1，0，1，22已知向量（0，3），（4，0），则cos，（）ABCD3给出下列三个结论：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则a1；若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；若复数z满足|z|1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A0B1C2D342021年3月28日，云南省人民政府发布关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云
2、南省特色小镇”其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）ABCD5ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）ABCD6已知等差数列an的公差为d，有下列四个等式：a11；d1；a1+a20；a33若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）ABCD7叫做二项式定理，取ab1，可得二项式系数的和执行如图所示的程序框图，如果输入n8，则输出S（）A64B128C256D5128已知平面截球O所得截
3、面圆半径为，该球面上的点到平面的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A4B8C16D329智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）ABCD10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D1211设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上
4、，若，且|OP|3a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）ABCD12已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（e，+）BCD（1，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最小值为 14甲、乙两组数据如表所示，其中a，bN*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为 （只需填一组）甲12ab10乙12471115两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为 16已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+Sn14n2（n2，nN*），则S25 三、解答题：共70分解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2，A60，D为BC边上一点，BD2CD（1）若CD1，求sinC；（2）若ABC的面积为，求AD的长18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，ABBC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点（1）证明：CB1平面ABC1；（2）若BC2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值19我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困某村40户贫困家庭
6、在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i1，2，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i1，2，8）得到如表家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消
7、费支出总额的比重通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%59%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数参考数据：，附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20设函数的极大值点为x1，极小值点为x2（1）若x1（0，1），求a的取值范围；（2）若a（0，1，f（x1）+f（x2）2m，求实数m的取值范围2
8、1已知斜率为的直线与圆x2+（y3）25相切，切点为T，且T在抛物线E：y22px（p0）上（1）求点T的坐标和E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a0），点A是E上的任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，设直线AC与BD的交点为P设PAB和PCD的面积分别为S1，S2，证明：为定值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（
9、t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：2acos（a0）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|AB|，求a选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a，b，c，2a+3b+4c取得最大值时，证明：+3参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|1x1，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，1C1
10、，1D2，1，0，1，2解：Ax|1x1，B2，1，0，1，2，AB1，0，1故选：A2已知向量（0，3），（4，0），则cos，（）ABCD解：向量（0，3），（4，0），（4，3），cos，故选：A3给出下列三个结论：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则a1；若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；若复数z满足|z|1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A0B1C2D3解：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则，解得a1，故正确；因为复数1+i，则复数z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限，故错误；设zx+yi（x，yR），因为复数z满足|z
11、|1，所以x2+y21，即z在复平面内所对应点的轨迹是圆，故正确；综上所述，所有正确结论的个数是2个，故选：C42021年3月28日，云南省人民政府发布关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）ABCD解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇某人
12、计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，基本事件总数n，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P故选：A5ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）ABCD解：由题意ABC为等腰三角形，且C90，可知：ABC是等腰直角三角形，设：BC2c，AC2c，AB2由椭圆的定义可知：2+2c2a，则椭圆的离心率：故选：D6已知等差数列an的公差为d，有下列四个等式：a11；d1；a1+a20；a33若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）ABCD解：假设成立，则a11，d1，a1+a21+010，不成立，a323
13、，不成立；故不可能同时成立，则一定同时成立，即a1+a20，a33，所以，解得d2，a11，所以不成立故选：B7叫做二项式定理，取ab1，可得二项式系数的和执行如图所示的程序框图，如果输入n8，则输出S（）A64B128C256D512解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S+.+的值，由于，取ab1，n8，可得（1+1）8+.+28256故选：C8已知平面截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A4B8C16D32解：如图，设平面截球O所得小圆为圆G，圆心为G，由题意可得，PG3，AG，再设球的半径为R，则，解得：R2球O的表面积为4R24
14、416故选：C9智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）ABCD解：根据曲线在上大致图象，可得Asin（0+）1，A2再根据五点法作图，可得+，故函数的解析式为y2sin（x+），故选：D10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D1
15、2解：由题意可知8k，即，10.9故选：C11设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|3a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）ABCD解：设P在双曲线的右支上，|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，由双曲线的定义可得mn2a，又（+），两边平方可得2（2+2+2），即为9a2（m2+n2+2mncos）（mn）2+3mn（4a2+3mn），可得mna2，在PF1F2中，由余弦定理可得4c2m2+n22mncos（mn）2+2mnmn4a2+a2，化为ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx故选：A12已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（e，+
16、）BCD（1，+）解：依题意，有且仅有两个根，即函数g（x）exa1与函数的图象有且仅有两个交点，而，易知函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，且x0时，h（x），x+时，h（x）0，函数相当于函数yex1在水平方向向左（或右）平移了|a|个单位，作出函数g（x）与h（x）的草图如下，当曲线g（x）与曲线h（x）恰好相切时，设切点为（x0，y0），则，解得，由图象可知，当a1时，函数g（x）exa1与函数的图象有且仅有两个交点，符合题意故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最小值为1解：由约束条件作出可行域如图，联立
17、，解得A（1，1），由zx+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+21故答案为：114甲、乙两组数据如表所示，其中a，bN*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为（6，6）（其它答案；（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）（只需填一组）甲12ab10乙124711解：由题意可得，1+2+a+b+101+2+4+7+11，所以a+b12，平均数为5，因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以（15）2+（25）2+（a5）2+（b5）2+（105）2（15）2+（25）2+（45）2+（75）2+（11
18、5）2，即（a5）2+（b5）216，所以（a，b）可以为（4，8），（6，6），（5，7），（7，5），（8，4）故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）15两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：根据正弦定理得：，故答案为：16已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+Sn14n2（n2，nN*），则S251297解：Sn+Sn14n2（n2，nN*），Sn+1+Sn4（n+1）2，相减可得：an+1+an8n+4，S251+8（2+4+24）+12449+81297故答
19、案为：1297三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2，A60，D为BC边上一点，BD2CD（1）若CD1，求sinC；（2）若ABC的面积为，求AD的长解：（1）依题意得BD2，则BC3，在ABC中，由正弦定理得：，即，所以（2）因为，所以b4，由BD2CD可得，则+，所以18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，ABBC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点（1）证明：CB1平面ABC1
20、；（2）若BC2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值【解答】（1）证明：设BC中点为D，连结C1D，因为C1在底面ABC上的射影为BC中点，所以C1D平面ABC，又因为C1D平面BCC1B1，所以平面BCC1B1平面ABC，又因为平面ABC平面BCC1B1BC，ABBC，所以AB平面BCC1B1，因为B1C平面BCC1B1，所以ABB1C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以B1CBC1，而ABBC1B，所以B1C平面ABC1（2）解：不妨设BC2，则AB1，因为C1DBC，BDDC，所以C1BC1C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以C1CCB，故C1BC为等边三角形，所以BCC
21、160，故，由（1）知AB平面BCC1B1，ABBC，以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz如图，B（0，0，0），A（0，1，0），C（2，0，0），所以，设平面ACC1A1法向量为，由，可得一个，设CB1与平面ACC1A1所成角为，则，所以CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为19我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位
22、：千元），整理数据（xi，yi）（i1，2，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i1，2，8）得到如表家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标根据联合国粮农组织提出的标准，
23、恩格尔系数在59%以上为贫困，50%59%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数参考数据：，附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，解：（1）由题意可知，所以，故，所以y关于x的回归方程为，的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元；（2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭（i）12345678恩格尔系数33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.2%所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为（户）
24、20设函数的极大值点为x1，极小值点为x2（1）若x1（0，1），求a的取值范围；（2）若a（0，1，f（x1）+f（x2）2m，求实数m的取值范围解：（1）函数，则f（x）x22x+1a2x（1a）x（1+a），当1+a1a，即a0时，f（x）0，f（x）单调递增，与题设矛盾，则a0；当1+a1a，即a0时，f（x）在（，1+a，1a，+）上单调递增，在（1+a，1a）上单调递减，所以x11+a，由01+a1，解得1a0；当1+a1a，即a0时，f（x）在（，1a，1+a，+）上单调递增，在（1a，1+a）上单调递减，所以x11a，由01a1，解得0a1综上所述，a的取值范围是（1，0）（0
25、，1）；（2）因为，所以f（x）图象关于对称，而，所以，又因为a（0，1使f（x1）+f（x2）2m，即a（0，1使，令，x（0，1，所以g（x）3x22xx（3x2），可得g（x）在上单调递减，单调递增，所以，则，综上，m的取值范围为21已知斜率为的直线与圆x2+（y3）25相切，切点为T，且T在抛物线E：y22px（p0）上（1）求点T的坐标和E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a0），点A是E上的任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，设直线AC与BD的交点为P设PAB和PCD的面积分
26、别为S1，S2，证明：为定值【解答】（1）解：由已知可得，经过T和圆心的直线方程为y2x+3，代入x2+（y3）25得5x25，x1或x1（舍去），所以T（1，1）由点T在抛物线上，得122p1，所以，故E的方程为y2x（2）证明：设A（m2，m）（m0），直线AB的方程为xty+a，代入E的方程，得y2tya0，所以myBa，所以，所以，同理可得C（4m2，2m），直线AC的方程为，即x3my+2m20，直线BD的方程为，即由得，则而，所以是定值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：
27、坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：2acos（a0）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|AB|，求a解：（1）已知曲线C1：（t为参数），转换为直角坐标方程为：，根据转换为曲线C1的极坐标方程为：；曲线C2：2acos（a0）根据转换为曲线C2的直角坐标方程为：（xa）2+y2a2（2）将代入，得，即，解得11，所以又，而|OM|AB|，所以选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a，b，c，2a+3b+4c取得最大值时，证明：+3【解答】（1）解：|x|+|x1|，作出函数f（x）|x|+|x1|的图象如图：由图可知，f（x）的最小值为1，不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立，2a+3b+4c的最大值为1；（2）证明：a，b，c，+（+）（2a+1）+（3b1）+（4c+2）（）9当且仅当a0，b，c时等号成立
