1、第2讲函数的单调性与最值一、填空题1函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析 令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(1)f(1)242240.所以，原不等式可化为：g(x)g(1)，由g(x)的单调性，可得x1.答案 (1，)2已知偶函数f(x)在区间0，)单调增加，则满足f(2x1)f的x取值范围是_解析 由题意可知|2x1|，解得x.答案 3函数f(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a 1)的单调减区间是_解析 0a1，ulogax在(0，)上为减函数，根
2、据复合函数的单调性及图象知，若f(x)为增函数，则g(x)为减函数，故0logax，x1，单调减区间为，1答案 ，14下列函数：yx3；y|x|1；yx21；y 2|x|.既是偶函数又在(0，)单调递增的函数序号是_解析yx3是奇函数，yx21与y2|x|在(0，)上是减函数答案5已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f(x)在(1,1)上是减函数，则不等式f(1x)f(1x2)0的解集为_解析由f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，及f(1x)f(1x2)0，得f(1x)f(1x2)，所以f(1x)f(x21)又因为f(x)在(1,1)上是减函数，所以故原不等式的解集为(0,1)答案(
3、0,1)6已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，yf(x)是减函数，若|x1|x2|，则结论：f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0中成立的是_(填所有正确的编号)解析由题意，得f(x)在0，)上是增函数，且f(x1)f(|x1|)，f(x2)f(|x2|)，从而由0|x1|x2|，得f(|x1|)f(|x2|)，即f(x1)f(x2)，f(x1)f(x2)0，只能是正确的答案7函数f(x)log2(x21)的单调减区间为_答案 (，1)8函数f(x)在2,3上的最小值为_，最大值为_答案 ，19若函数f(x)|2xa|的单调
4、递增区间是3，)，则a_.解析 f(x)f(x)在上单调递减，在上单调递增，3，a6.答案 610已知函数f(x)(a是常数且a0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是(1，)；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故错误；若f(x)0在上恒成立，则2a10，a1，故正确；由图象可知在(，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确答案二、解答题11已知函数f(x)(a0，x0)
5、(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数(2)若f(x)在上的值域是，求a的值(1)证明法一设x2x10，则x2x10，x1x20.因为f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)，因此f(x)在(0，)上是增函数法二因为f(x)，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数(2)解因为f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，所以f，f(2)2，故a.12已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，yR总有f
6、(x)f(y)f(xy)，所以令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又由x0时，f(x)0，而x1x20，所以f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又由x0时，f(x)0，而x1x20，所以f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在R上为减函数(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在3,3上也是减函数，所以f(x)在3,3上的最大
7、值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.所以f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.13已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解 (1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,114已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，3a0.当00，a3.01时，f(x)在1，上为减函数，在(，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值是f()22，220，显然成立综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3，)
