1、2015-2016学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若A=x|1x2，B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x2Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x22复数23i（i为虚数单位）的虚部是（）A2B2C3iD33设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）A身高x为解释变量，体重y为预报变量By与x具有正的线性相关关系C回归直线过样本点的中
2、心（，）D若该大学某女生身高为170cm，则她的体重必为58.79kg4阅读如图所示的程序框图，若输入的k=4，则输出的S=（）A15B16C31D325平面直角坐标系中，与直线x2y+3=0平行的一个向量是（）A（1，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）6一个棱长为2的正方体，它的顶点都在球面上，这个球的体积是（）A3B2C4D127给出下面三个类比推理：实数m、n，有（m+n）2=m2+2mn+n2；类比向量有（+）2=2+2+2实数m、n，若m2+n2=0，则m=n=0；类比复数z1、z2，若z12+z22=0，则z1=z2=0向量，有|2=2；类比复数z，有|z|2=z2类比所得到
3、的命题中，真命题的个数是（）A0B1C2D38小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A小赵B小李C小孙D小钱9已知f（x）=log2x，若f（x）的导数f（x0）=1，则x0=（）A2eBe2Clog2eDloge210经过点P（2，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点，则k的取值范围为（）A0，1B0， C1， D1，0， 11f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x），则使得f（x）0成立的
4、x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）12以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角性”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13x、yR，i是虚数单位，若（x+y3）+（x4）i=0，则y=14若样本点为（21，2.1）、（23，2.3）、（25，2.8）、（27，3.2）、（29，4.1），则样本点的中心
5、为15已知f（x）=tanx，则=16在等差数列an中，若a5=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a9n（n9，nN*）成立类比上述性质：在等比数列bn中，若b6=1，则有等式成立三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是1+3i、i、2+i（）求点D对应的复数；（）求ABC的边BC上的高18为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如表的列联表：患病未患病总计服用药213051没服用药82634总计295685（）根据上表数据，能否以90%的把握认为药物有效？（）用分层抽样方法从“服用药”和“没服用
6、药”两类小白鼠中随机抽取一个容量为5的样本，再从该样本中任取2只，求其中恰有1只小白鼠服用药物的概率19已知A+B=，且A、Bk+（kZ）（）求证：（1+tanA）（1+tanB）=2；（）求tan的值20如图，椭圆+=1（ab0）与x轴、y轴的正半轴相交于A、B，过椭圆上一点P作x轴的垂线，垂足恰为左焦点F1，OPAB（）求椭圆的离心率；（）线段PB的垂直平分线与y轴相交于C，若=，求21已知f（x）=x3+x2+ax，aR是常数（）a=1时，求函数f（x）在区间（0，1）上的值域；（）若曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，求a请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果
7、多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M、圆N于C、D两点，延长DB、CB分别交圆M、圆N于E、F已知DB=10、CB=5（）求AB的长；（）求证：CF=DE选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解
8、不等式f（x）0；（2）若f（x）+3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围2015-2016学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若A=x|1x2，B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x2Bx|1x3Cx|1x3Dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】利用交集性质和不等式性质求解【解答】解：A=x|1x2，B=x|1x3，AB=x|1x2故选：A2复数23i（i为虚数单位）的虚部是（）A2B2C3iD3【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的基本概念写出结果即可【解答
9、】解：复数23i（i为虚数单位）的虚部是：3故选：D3设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）A身高x为解释变量，体重y为预报变量By与x具有正的线性相关关系C回归直线过样本点的中心（，）D若该大学某女生身高为170cm，则她的体重必为58.79kg【考点】回归分析【分析】根据回归方程=0.85x85.71的意义，对选项中的命题进行分析，判断正误即可【解答】解：对于A，回归方程中，身高x为解释变量，体重y为预报变量，命题正确；对于B，
10、回归方程中， =0.850，y与x具有正的线性相关关系，命题正确；对于C，回归直线过样本点的中心（，），命题正确；对于D，当x=170时， =0.8517085.71=58.79，这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，所以原命题错误故选：D4阅读如图所示的程序框图，若输入的k=4，则输出的S=（）A15B16C31D32【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，k=4，执行循环体，S=1+20=1，i=2，不满足条件ik，执行循环体，S=1+21=3，i=3，不满足条件ik，执行循环体，
11、S=1+23=7，i=4，不满足条件ik，执行循环体，S=1+27=15，i=5，满足条件ik，退出循环，输出S=15故选：A5平面直角坐标系中，与直线x2y+3=0平行的一个向量是（）A（1，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）【考点】直线的斜率；平面向量的坐标运算【分析】求出直线x2y+3=0的斜率，求出向量所在直线的斜率，判断即可【解答】解：直线x2y+3=0的斜率是：，设点（2，1）为P，则的坐标（2，1），直线OP的斜率，故选：B6一个棱长为2的正方体，它的顶点都在球面上，这个球的体积是（）A3B2C4D12【考点】球的体积和表面积【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直
12、径，利用球的体积公式求解即可【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2所以球的半径为：所求球的体积为： =4故选：C7给出下面三个类比推理：实数m、n，有（m+n）2=m2+2mn+n2；类比向量有（+）2=2+2+2实数m、n，若m2+n2=0，则m=n=0；类比复数z1、z2，若z12+z22=0，则z1=z2=0向量，有|2=2；类比复数z，有|z|2=z2类比所得到的命题中，真命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】类比推理【分析】要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进
13、行分析，不难解答【解答】解：实数m、n，有（m+n）2=m2+2mn+n2；类比向量有（+）2=2+2+2，正确；实数m、n，若m2+n2=0，则m=n=0；类比复数z1、z2，若z12+z22=0，则z1=z2=0，不正确，12+i2=0，不满足z1=z2=0；向量，有|2=2；类比复数z，有|z|2=z2，不正确，比如z=i故选：B8小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A小赵B小李C小孙D小钱【考点】进行简单的合情推理【分析】利用3人说真话，1人说
14、假话，验证即可【解答】解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；故选：D9已知f（x）=log2x，若f（x）的导数f（x0）=1，则x0=（）A2eBe2Clog2eDloge2【考点】导数的运算【分析】根据函数的导数公式建立方程进行求解即可【解答】解：f（x）=log2x，函数的导数f（x）=，由f（x0）=1，得=1，即x0=log2e，故选：C10经过点P（2，1）且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点，则k的取值范围为（）A0，1B0， C1， D1，0， 【考点】抛物线的简单性质【分析】
15、设直线方程为：y=k（x+2）+1，代入抛物线方程得k2x2+（4k2+2k4）x+4k2+4k+1=0（*），直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，由此能求出结果【解答】解：经过点P（2，1）且斜率为k的直线l为：y=k（x+2）+1，代入抛物线方程y2=4x整理可得k2x2+（4k2+2k4）x+4k2+4k+1=0（*），直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，k=0时，y=1符合题意；k0时，=（4k2+2k4）24k2（4k2+4k+1）=0，整理，得2k2+k1=0，解得k=或k=1综上可得，k=或k=1或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点，故k1，0，
16、，故选：D11f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x），则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件构造函数h（x）=，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，进行求解即可【解答】解：当x0时xf（x）f（x），xf（x）f（x）0，设h（x）=，则h（x）=0，即函数h（x）在（0，+）上为减函数，f（x）是奇函数，h（x）=是偶函数，f（1）=0，f（1）=f（1）=0，则h（1）=h（1）=0，当x0时，f（x）0等价
17、为h（x）0，即h（x）h（1），此时0x1，当x0时，f（x）0等价为h（x）0，即h（x）h（1），此时x1，综上f（x）0成立的x的取值范围是（，1）（0，1），故选：A12以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角性”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014【考点】归纳推理【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，第2016行只有M
18、，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13x、yR，i是虚数单位，若（x+y3）+（x4）i=0，则y=1【考点】复数相等的充要条件【分析】根据复数相等的条件建立方程关系进行求解即可【解答】解：（x+y3）+（x4）i=0，得，即y=1；故答案为：114若
19、样本点为（21，2.1）、（23，2.3）、（25，2.8）、（27，3.2）、（29，4.1），则样本点的中心为（25，2.9）【考点】回归分析【分析】根据样本点的数据，分别求出对应的平均数即可【解答】解：样本点为（21，2.1）、（23，2.3）、（25，2.8）、（27，3.2）、（29，4.1），=（21+23+25+27+29）=25=（2.1+2.3+2.8+3.2+4.1）=2.9；所以样本点的中心为（25，2.9）故答案为：（25，2.9）15已知f（x）=tanx，则=4【考点】导数的运算【分析】先转化为f（x），再根据导数的运算法则求导，并带值计算即可【解答】解：f（x）=
20、tanx=，f（x）=，=4，故答案为：416在等差数列an中，若a5=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a9n（n9，nN*）成立类比上述性质：在等比数列bn中，若b6=1，则有等式b1b2bn=b1b2b11n（n11，且nN*）成立【考点】类比推理【分析】根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的方法，根据类比规律得出结论即可【解答】解：在等差数列an中，若a5=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a9n（n9，nN*）成立，利用的是等差数列的性质，若m+n=10，a10n+an=a5+a5=0；在等比数列中，若b6=1，则b12nb13nbn=1，利用的是等比的性质，若
21、m+n=12，则b12nbn=b6b6=1，所以b1b2bn=b1b2b11n（n11，且nN*）成立故答案为：b1b2bn=b1b2b11n（n11，且nN*）三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是1+3i、i、2+i（）求点D对应的复数；（）求ABC的边BC上的高【考点】复数的代数表示法及其几何意义；点到直线的距离公式【分析】（）求出复平面内A、B、C对应点的坐标分别为，设D的坐标为（x，y），由列式解得x，y的值，得到D的坐标，求出D对应的复数；（）求出BC直线的方程为，由点到直线的距离公式求出A到BC直线的距
22、离，则BC边上的高可求【解答】解：（）复平面内A、B、C对应点的坐标分别为（1，3），（0，1），（2，1），设D的坐标为（x，y），由，得（x1，y3）=（2，2），x1=2，y3=2，解得x=3，y=5，故D（3，5），则点D对应的复数为：3+5i；（）B（0，1），C（2，1），BC直线的方程为：xy1=0，A到BC直线的距离，故BC边上的高为18为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如表的列联表：患病未患病总计服用药213051没服用药82634总计295685（）根据上表数据，能否以90%的把握认为药物有效？（）用分层抽样方法从“服用药”和“没服用药”两类小白鼠中随机
23、抽取一个容量为5的样本，再从该样本中任取2只，求其中恰有1只小白鼠服用药物的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；独立性检验的应用【分析】（）求出K22.86262.706，从而得到能以90%的把握认为药物有效（）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为5的样本，应抽取服用药的小白鼠数为3只，应抽取没服用药的小白鼠数为2只，由此利用列举法能求出恰有1只小白鼠服用药物的概率【解答】解：（）K2=能以90%的把握认为药物有效（上式每个“等号”各；判断1分）（）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为5的样本，则应抽取服用药的小白鼠数为（只），设为a，b，c，应抽取没服用药的小白鼠数为53=
24、2（只），设为m，n从该样本中任取2只，基本事件为ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，总数有10个设其中恰有1只小白鼠服用药物为事件A，则A包含的基本事件为am，an，bm，bn，cm，cn，共有6个其中恰有1只小白鼠服用药物的概率答：其中恰有1只小白鼠服用药物的概率为19已知A+B=，且A、Bk+（kZ）（）求证：（1+tanA）（1+tanB）=2；（）求tan的值【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值【分析】（）由条件利用两角和差的正切公式，变形证得要证的等式（）取，由（）求得tan的值【解答】证明：（）依题意，即，故tanA+tanB=1tanAtan
25、B，（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2成立（）取，由（）得，20如图，椭圆+=1（ab0）与x轴、y轴的正半轴相交于A、B，过椭圆上一点P作x轴的垂线，垂足恰为左焦点F1，OPAB（）求椭圆的离心率；（）线段PB的垂直平分线与y轴相交于C，若=，求【考点】椭圆的简单性质【分析】（）依题意，设P（c，y0）（c是椭圆的半焦距），代入椭圆方程得由OPAB，得，代入化简，再利用a2=b2+c2及其离心率计算公式夹角得出（II）利用向量的坐标运算性质可得C，再利用线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式即可得出【解答】解：（）依题意，设P（c，y0）（c是椭
26、圆的半焦距），代入椭圆方程，得（负值舍去），由OPAB，得，代入化简得b=c，（）由得C（0，b），由|PC|=|BC|，得，由（）得，从而，即，解得，21已知f（x）=x3+x2+ax，aR是常数（）a=1时，求函数f（x）在区间（0，1）上的值域；（）若曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，求a【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域【分析】（）求得f（x）的导数，求得（0，1）的单调区间和极值、最值，可得函数的值域；（）“曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线”，有两种情况：曲线y=f（x）有且仅有一条斜率为1的切线，且这条切线不是直线y=x；曲线y=
27、f（x）有两条斜率为1的切线，且其中一条为直线y=x求出f（x）的导数，由判别式为0，解得a，求得切线的斜率；或设出切点，求得切线的斜率和方程，解方程可得切点坐标和a的值，即可得到所求值【解答】解：（）f（x）=x3+x2x的导数为f（x）=3x2+2x1，令f（x）=0，解得，f（x）在（0，1）的单调区间和极值情况如下表：xf（x）0+f（x）极小值可得f（0）=0，f（1）=1，所求值域为；（）“曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线”，有两种情况：其一，曲线y=f（x）有且仅有一条斜率为1的切线，且这条切线不是直线y=x；其二，曲线y=f（x）有两条斜率为1的切线，且其中一
28、条为直线y=x若f（x）=3x2+2x+a=1仅有一个实根，则2234（a1）=0，解得，此时由得，斜率为1的切线为，符合题意；若y=x是曲线y=f（x）的一条切线，设切点为（x0，x0），则，解得或，当a=1时，f（x）=x3+x2+x，曲线y=f（x）的斜率为1的切线是y=x与，符合题意；当时，曲线y=f（x）的斜率为1的切线是y=x与，符合题意综上所述，即为a的取值范围为请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M、圆N于C、D两点，延长DB、CB分别
29、交圆M、圆N于E、F已知DB=10、CB=5（）求AB的长；（）求证：CF=DE【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；与圆有关的比例线段【分析】（）根据弦切角定理，推导出ABCDBA，由此能求出AB的长（）根据切割线定理，推导出ABCDBA，得到得，由此能求出【解答】解：（）根据弦切角定理，BAC=BDA，ACB=DABABCDBA，则，故AB2=BCBD=50，证明：（）根据切割线定理，知CA2=CBCF，DA2=DBDE两式相除，得（*）由ABCDBA，得又，由（*）得，CF=DE选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x
30、轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1t2|，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围【解答】解：（1）cos=x，sin=y，2=x2+y2，曲线C的极坐标
31、方程是=4cos可化为：2=4cos，x2+y2=4x，（x2）2+y2=4（2）将代入圆的方程（x2）2+y2=4得：（tcos1）2+（tsin）2=4，化简得t22tcos3=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，|AB|=|t1t2|=，|AB|=，=cos0，），或直线的倾斜角或选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式f（x）0；（2）若f（x）+3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）对x讨论，分当x4时，当x4时，当x时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x4|的最小值，即可得到m的范围【解答】解：（1）当x4时，f（x）=2x+1（x4）=x+50，得x5，所以x4成立；当x4时，f（x）=2x+1+x4=3x30，得x1，所以1x4成立；当x时，f（x）=x50，得x5，所以x5成立综上，原不等式的解集为x|x1或x5；（2）令F（x）=f（x）+3|x4|=|2x+1|+2|x4|2x+1（2x8）|=9，当时等号成立即有F（x）的最小值为9，所以m9即m的取值范围为（，92016年8月3日
