1、20202021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一下学期开学考试数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.函数的定义域是（ ）.A.B.C.D.2.已知，则（ ）.A.B.C.D.3.已知，则（ ）A.B.C.D.4.若单位向量，满足，则向量，的余弦值为（ ）.A.B.C.D.5.函数，的图象大致是（ ）.A.B.C.D.6.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）.A.B.C.D.7.已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）A.B.C.D.8.已知函数是偶函数，则在上是增函数的一个值是（ ）.A.B.C.D.9.已知，是平面内夹角为90的
2、两个单位向盘，若向量满足，则的最大值为（ ）A.1.C.D.210.设函数，其中，若对一切恒成立，则下列结论中正确的是（ ）A.B.点是函数的一个对称中心C.在上是增函数D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点11.已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上（不包含两个端点），则的取值范围是（ ）.A.B.C.D.12.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数（且）图象恒过的顶点在角的终边上，则 .14.如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，和，记与的夹角为，
3、且，与的夹角为45.若，则 .15.的三个内角为，当取得最大值时，角的大小为 .16.已知函数在内恰有两个最小值点，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知，求的值.18.已知，求的值.19.已知向量与的夹角为60，.（1）若，求实数的值（2）是否存在实数，使得，说明理由.20.如图是函数一个周期内的图象，已知点是图象与轴的交点，点是图象上的最高点，点的横坐标为.（1）求函数的解析式.（2）记，求的值.21.如图所示，是的重心，分别是边，上的动点，且，三点共线.（1）设，将用，表示.（2）设，证明：是定值.22.如图（1）所示，用两块宽分别为和1cm的矩形钢板（，），
4、剪裁后在平面内焊成60的“角型”.图（1）（1）设，请问下料时应取多少度？（2）如图（2）所示，在以为圆心，为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌，其中在扇形的弧上，求矩形面积的最大值.图（2）23.已知函数.（1）求函数的单调区间（2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.20202021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一下学期开学考试数学试卷（详解）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.函数的定义域是（ ）.A.B.C.D.【答案】B【解析】函数的定义域为：，解得.故函数的定义域
5、为：.故选B.2.已知，则（ ）.A.B.C.D.【答案】A【解析】，.故选A.3.已知，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】，又因为， 所以，即，又，即.故选A.4.若单位向量，满足，则向量，的余弦值为（ ）.A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意，设向量，夹角为，若单位向量，满足，则有，则有.故选A.5.函数，的图象大致是（ ）.A.B.C.D.【答案】C【解析】函数，满足，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当时，故排除D.故选C.6.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）.A.B.C.D.【答案】D【解析】当时则，所以，即，解得，当时，所以，即，解得，综上，实数的取值范围为：
6、.故选：D.7.已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，与均关于对称，必关于对称，中点，即与轴交点，由，解得（舍去）或，或，.故选B.8.已知函数是偶函数，则在上是增函数的一个值是（ ）.A.B.C.D.【答案】A【解析】函数，是偶函数，得，又在上是减函数则，可得：，当时，综上可得.故选：A.9.已知，是平面内夹角为90的两个单位向盘，若向量满足，则的最大值为（ ）A.1.C.D.2【答案】B【解析】向量满足，如图设，连接，再作出以为直径的圆，在圆上取点并连接，则根据已知条件知道，所以最大时，为该圆的直径，根据图形及已知条件，
7、此时，则的最大值为.故选B.10.设函数，其中，若对一切恒成立，则下列结论中正确的是（ ）A.B.点是函数的一个对称中心C.在上是增函数D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点【答案】D【解析】A选项：由题可知，又因为，且，所以.A项，因为，所以，均不等于0.，故A项错误；B选项：的对称中心是上的点，所以，B项错误；C选项：由，可知，与在上是增函数矛盾，故C项错误；D选项：由题可知，且，所以与有无数多个交点，且点必在直线上，故D项正确.故选D.11.已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上（不包含两个端点），则的取值范围是（ ）.A.B.C.D.【答案】C【解析】，
8、即，又，点在线段上，且，.故选C.12.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】若，则，时，则若，关于轴对称，则，即，设，作出函数的图象，要使，与，的图象至少有3个交点，则且满足，即，即，则，解得.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数（且）图象恒过的顶点在角的终边上，则 .【答案】【解析】恒过点，.14.如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，和，记与的夹角为，且，与的夹角为45.若，则 .【答案】【解析】以为坐标原点向量方向为轴，与向量垂直的方向为轴，建立平面直角坐标系.点的坐标为，可得点的坐标
9、为，所以，又点的坐标为，.，若，则且，所以，所以.故答案为：.15.的三个内角为，当取得最大值时，角的大小为 .【答案】60【解析】因为，则，所以当，因为为锐角，所以，即时，原式的最大值为.16.已知函数在内恰有两个最小值点，则的取值范围是 .【答案】【解析】，则，故，且故，故，要有2个最小值点，故，解得，综上所述：.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知，求的值.【答案】7.【解析】，原式.18.已知，求的值.【答案】.【解析】方法一：，.故答案为：.方法二：，.又，原式.19.已知向量与的夹角为60，.（1）若，求实数的值（2）是否存在实数，使得，说明理由.【答案】（
10、1）.（2）.【解析】（1）.（2）.20.如图是函数一个周期内的图象，已知点是图象与轴的交点，点是图象上的最高点，点的横坐标为.（1）求函数的解析式.（2）记，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）由图可知，函数的周期为，.代入点的坐标，有.又由可得，可得，有，故函数的解析式为.（2）如图，过点作轴的垂线，垂足为.可得点的坐标为，由函数图象的周期性，可得点的坐标为，在中，在中，由.可得，故.21.如图所示，是的重心，分别是边，上的动点，且，三点共线.（1）设，将用，表示.（2）设，证明：是定值.【答案】（1）.（2）证明见解析.【解析】（1），即，整理，得.（2）是的重心，因此，得到
11、，可得，即（定值）.22.如图（1）所示，用两块宽分别为和1cm的矩形钢板（，），剪裁后在平面内焊成60的“角型”.图（1）（1）设，请问下料时应取多少度？（2）如图（2）所示，在以为圆心，为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌，其中在扇形的弧上，求矩形面积的最大值.图（2）【答案】（1）45.（2）.【解析】（1）过作，分别垂直，于、，则在，中，所以，.（2）由（1）知：，设，所以，矩形面积的最大值为.23.已知函数.（1）求函数的单调区间（2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】（1），由于的单调增区间为，令，得：，单调增区间为，.（2），向左平移个单位得，再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，故，不等式，即，成立，此时，当时，不等式恒成立，当时，令，其中，得，即，当时，单调递增，当时，单调递减，即，综上，.
