1、第2讲基本初等函数、函数与方程(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019朝阳区模拟)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是Ay2xBy|x|1Cyx3 Dycos x解析选项A，y2x是非奇非偶函数，且没有零点；选项B，y|x|1没有零点；选项C，yx3是奇函数；选项D，cos(x)cos x，ycos x是偶函数，又cos x0有解，ycos x既是偶函数又存在零点故选D.答案D2(2019济南模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是A(1，3) B(1，2)
2、C(0，3) D(0，2)解析根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)2xa在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)0，f(2)0，得0a3.答案C3(2019安徽A10联盟联考)已知函数f(x)(a0且a1)，若函数f(x)无最小值，则实数a的值不可能为A. B. C2 D4解析由题意得，当0a1时，函数f(x)无最小值，符合题意；当a1时，若函数f(x)无最小值，数形结合可知，loga32，解得a.综上所述，实数a的取值范围为(0，1)(，)故选B.答案B4已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足0b
3、1a，则n的值为A2 B1 C2 D1解析由题意得函数f(x)axxb为增函数，常数a，b满足0b1a，所以f(1)1b0，f(0)1b0，所以函数f(x)axxb在(1，0)内有一个零点，故n1.答案D5(2019郑州模拟)某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：记录时间累计里程(单位：千米)平均耗电量(单位kWh/千米)剩余续航里程(单位：千米)2019年1月1日4 0000.1252802019年1月2日4 1000.126146(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量，剩余续航里程)下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电
4、量估计正确的是A等于12.5 B在12.5到12.6之间C等于12.6 D大于12.6解析4 1000.1264 0000.125516.650016.6.故选D.答案D6(2019杭州模拟)设m，nZ，已知函数f(x)2|x|2的定义域是m，n，值域是1，4，当m取最小值时，函数g(x)ln(x2e)m1零点的个数为A2 B3 C1 D0解析因为f(x)2|x|2的值域是1，4，所以0|x|22，所以2x2.因为函数f(x)2|x|2的定义域是m，n，所以m的最小值为2.此时g(x)ln(x2e)21ln(x2e)1，令g(x)0，解得x或x，即函数g(x)有两个零点故选A.答案A7已知奇函
5、数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为Aabc Bcba Cbac Dbca解析因为f(x)是奇函数，且在R上递增，所以x0时，f(x)0，从而g(x)xf(x)在R上为偶函数，且在0，)上是增函数，ag(log25.1)g(log25.1)，20.82，又45.18，所以，2log25.13，即020.8log25.13，g(20.8)g(log25.1)g(3)，所以bac.答案C8(2019武汉模拟)一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2
6、倍若该病毒占据64 MB内存(1 MB210KB)，则开机后经过的时间为A45分钟 B44分钟 C46分钟 D47分钟解析因为开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据22KB，2个3分钟后占据内存23KB，3个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是2n1KB，则应有2n164210216.所以n15.所以开机后经过的时间为15345(分钟)故选A.答案A9(2019郑州第二次质检)已知函数f(x)(aR)若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是A(0，1 B1，) C(0，1) D(，1解析画出函数f(x)的大致图
7、象如图所示，因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需1a0，即a1；当x0时，f(x)有一个零点，需a0，即a0.综上，0a1.故选A.答案A10(2019德阳三诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)A150毫克/升 B300毫克/升C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升解析因为当t0，30时，污染物数量的变化率是10
8、ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)答案C11(2019福州质检)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)f(2x)，当x2，0时，f(x) 1，若在区间(2，6)内，函数g(x)f(x)loga(x2)(a0且a1)有且只有4个不同的零点，则实数a的取值范围是A. B(1，4) C(1，8) D(8，)解析因为f(x2)f(2x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x4)f(x)，f(x)的周期为T4.在区间(2，6)内，函数g(
9、x)f(x)loga(x2)(a0且a1)有且只有4个不同的零点，等价于关于x的方程f(x)loga(x2)(a0且a1)有且只有4个不同的根，等价于函数f(x)的图象与h(x)loga(x2)的图象的交点个数为4，显然a1.画出两函数的大致图象，如图由图可知，解得a8.答案D12(2019烟台三模)已知函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立(其中f(x)是f(x)的导函数)，若a30.3f(30.3)，b(log3)f(log3)，cf，则a，b，c的大小关系是Aabc BcabCcba Dacb解析因为当x(，0)时不等式f(x)xf(x)0
10、成立，即xf(x)0，所以g(x)xf(x)在(，0)上是减函数又因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于点(0，0)对称，所以函数yf(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)xf(x)是定义在R上的偶函数，所以g(x)xf(x)在(0，)上是增函数又因为30.31log30log3 2，2log3 30.31log30，所以f30.3f(30.3)(log3)f(log3)，即f30.3f(30.3)(log3)f(log3)，即cab.故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019长春三模)若直线yx与函数f(x)的图象恰
11、有三个公共点，则实数m的取值范围是_解析直线yx与函数f(x)的图象恰有三个公共点，即方程x24x2x(xm)与x2(xm)共有三个不同根x24x2x的解为x12，x21，1m2时满足条件答案1，2)14已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg(nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5PA5.5.其中正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)解析当nA1时PA0，故错误；
12、若PA1，则nA10，若PA2，则nA100，故错误；设B菌的个数为nB5104，nA2105.PAlg(nA)lg 25.又lg 20.3，5PA2)上至少存在一点与直线yx1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为_解析直线yx1关于原点对称直线为yx1，方程log2(2xm)x1，即m2x1在(2，)上有解，所以m2，2xm0恒成立，所以m1时，甲走在最前面；当x1时，乙走在最前面；当0x1时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲其中正确结论的所有序号为_解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x0)的函
13、数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以不正确；当x5时，f1(5)31，f2(5)25，所以不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最后面，所以正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以正确答案
