1、2015年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）若集合A=x|x0，且AB=B，则集合B可能是（） A 1，2 B x|x1 C 1，0，1 D R【考点】： 交集及其运算【专题】： 计算题；集合【分析】： 由集合A=x|x0，且AB=B，得BA，由此能求出结果【解析】： 解：集合A=x|x0，且AB=B，BA，观察备选答案中的4个选项，只有1，2A故选：A【点评】： 本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题2（5分）在极坐标系中，圆=2被直线sin=1截得的弦长为（） A B 2 C
2、2 D 3【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长【解析】： 解：圆=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4直线sin=1转化成直角坐标方程为：y=1所以：圆心到直线y=1的距离为1则：弦长l=故选：C【点评】： 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用3（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（） A 4 B 6 C 8 D 10【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】：
3、模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7k10【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件nk，n=4，S=6不满足条件nk，n=7，S=19不满足条件nk，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7k10故选：C【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题4（5分）已知mR，“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在（0，+）上为减函数”的（） A 充分不必要条
4、件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若函数y=f（x）=2x+m1有零点，则f（0）=1+m1=m1，当m0时，函数y=logmx在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=logmx在（0，+）上为减函数，则0m1，此时函数y=2x+m1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在（0，+）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件
5、和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键5（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（） A 240 B 60 C 192 D 180【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 概率与统计【分析】： 利用通项公式Tr+1=x63r，令63r=0，解得r=2即可得出【解析】： 解：Tr+1=x63r，令63r=0，解得r=2常数项的值是=240故选：A【点评】： 本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题6（5分）等差数列an中，a，ak=（mk），则该数列前mk项之和为（） A B C D 【考点】： 等差数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数
6、列【分析】： 由已知求出等差数列的公差，得到amk，然后代入前n项和公式得答案【解析】： 解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d=，a1+（m1）d=am，a1=（m1）=，amk=+（mk1）=1，smk=故选：C【点评】： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题7（5分）（2014湖北）在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（） A 和 B 和 C 和 D 和【考点】： 简单空间
7、图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论【解析】： 解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：D【点评】： 本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题8（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线有以下几个命题：双曲线是黄金双曲线； 双曲线y是黄金双曲线；在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若F1 B1 A2=90，则该双曲线是黄金双曲线；在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点
8、，若MON=120，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为（） A 和 B 和 C 和 D 和【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 对于求出双曲线的离心率判断正误；对于通过F1B1A2=90，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于，MN经过右焦点F2且MNF1F2，MON=120，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误【解析】： 解：双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即正确；由双曲线y，可得离心率e=，故该双曲线是黄金双曲线，即正确；F1B1A2=90，b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2
9、aca2=0，由可知该双曲线是黄金双曲线；如图，MN经过右焦点F2且MNF1F2，MON=120，NF2=OF2，b2=3ac，c2a2=3ac，e23e1=0，e=，该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】： 本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+【考点】： 复数代数形式的混合运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可【解析】： 解：z=1+i，=1i，z+=1+i+（1i）+|1+i|1=1+故答案为：1+【点评】： 本题考查
10、复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力10（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则CBD=30【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 欲求：“CBD”，根据圆中角的关系：COD=2CBD，只要求出COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题【解析】： 解：由割线定理得，PAPB=PCPD，PA=4，PC=5，410=5PD，PD=8，CD=85=3，CDO是等边三角形，COD=60，从而CBD=30故填：30或【点评】： 此题中要通过计算边长
11、，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题11（5分）设不等式组 表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为【考点】： 几何概型；简单线性规划【专题】： 概率与统计【分析】： 首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可【解析】： 解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：【点评】： 本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答12（5分）
12、如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足=x+y（x，yR），则=【考点】： 向量的三角形法则【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可【解析】： 解：将向量，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，1），=（3，4），=x+y，（3，4）=x（1，2）+y（2，1），即，解得，则=，故答案为：【点评】： 本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键13（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种【考点】： 计数原理的应用【专题】： 排列组合【分析】： 根据分步计数原理，先选
13、2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可【解析】： 解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62A42=180种情况，故答案为：180【点评】： 本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14（5分）已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，都存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：M=（x，y）|y=； M=（x，y）|y=log2x；M=（x，y）|y=ex2； M=（x，y）|y=sinx+1其中是“垂直对点集”的序号是【考点
14、】： 点到直线的距离公式【专题】： 导数的综合应用【分析】： 由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直【解析】： 解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直M=（x，y）|y=，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，满足=1，化为=1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，M=（x，y）|y=log2x，（x0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x20），满足1x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；
15、M=（x，y）|y=ex2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；M=（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”综上可得：只有是“垂直对点集”故答案为：【点评】： 本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（）=y1+y2（1）求函数f（）的值域；（2）设ABC的角A，B，C所对
16、的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b【考点】： 任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （1）根据三角函数的定义求出函数f（）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论【解析】： 解：（）由三角函数定义知，y1=sin，y2=sin（+）=cos，f（）=y1+y2=cos+sin=sin（+），角为锐角，+，sin（+）1，1sin（+），则f（）的取值范围是（1，；（）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b22ab
17、cosC，即1=2+b22b，则b22b+1=0，即（b1）2=0，解得b=1【点评】： 本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键16（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：（） 求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望【考点】：
18、离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（）根据古典概型的求概率方法求出随机变量分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望【解析】： 解：（）x=82，；（）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意的所有可能取值为：1，2，3；P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=；的分布列为：所以E（）=【点评】： 考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公
19、式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式17（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，ABCD，ADDC，AB=AD=2，CD=4（）求证：BC平面BDE；（）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30【考点】： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】： 计算题；证明题【分析】： （）欲证BC平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED平面ABCD，则EDBC，根据勾股定理可知BC
20、BD，满足定理所需条件；（）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系Dxyz，求出D，A，E，B，F，以及，设P（o，y，z）通过|y|=|z|设是平面BEF的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60或120通过cos=和y|=|z|求出P的坐标【解析】： 解：（）在正方形ADEF中，EDAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，所以ED平面ABCD所以EDBC（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在BCD中，所以BD2+BC2=CD2所以BCBD（5分）所以BC平面BDE（6分）（）DE，DA，
21、DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|令是平面BEF的法向量，则，令y=1，得AP与平面BEF所成的角等于30与所成的角为60或120cos=y2+z2+4yz4=0又|y|=|z|y=z或y=z，当y=z时y=z=，当y=z时，上式无解，P（0，），或P（0，）【点评】： 本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力18（13分）已知函数f（x）=
22、xalnx，g（x）=（a0）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若存在x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】： 分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： （）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a0，即可求得单调区间；（III）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0即h（x）在1，e上的最小值小于零对a讨
23、论，当1+ae，当11+ae，求得单调区间和最小值即可【解析】： 解：（）f（x）=xalnx的定义域为（0，+） 当a=1时，f（x）= 由f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减；当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1ln1=1； （）h（x）=f（x）g（x）=xalnx+，其定义域为（0，+）又h（x）= 由a0可得1+a0，在0x1+a上，h（x）0，在x1+a上，h（x）0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+） （III）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0
24、）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0即h（x）在1，e上的最小值小于零 当1+ae，即ae1时，由（II）可知h（x）在1，e上单调递减故h（x）在1，e上的最小值为h（e），由h（e）=e+a0，可得a 因为e1所以a 当11+ae，即0ae1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增h（x）在1，e上最小值为h（1+a）=2+aaln（1+a） 因为0ln（1+a）1，所以0aln（1+a）a则2+aaln（1+a）2，即h（1+a）2不满足题意，舍去 综上所述：a（，+）【点评】： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不
25、等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键19（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2（）求椭圆C的标准方程；（）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程（）设P（x0，y0），则Q（x0，y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论【解析】： （
26、）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2椭圆C的标准方程为（）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0） 证明如下：设P（x0，y0），则Q（x0，y0），且，即，A（2，0），直线PA方程为：，Q（0，），直线QA方程为：，N（0，），以MN为直径的圆为，即，令y=0，则x22=0，解得x=以MN为直径的圆过定点F（，0）【点评】： 本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题20（13分）设数列an满足：a1=1；所有项anN*；1=a1a2anan+1设集合Am=n|anm，mN*，将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列an中满足不等式anm的所有
27、项的项数的最大值我们称数列bn为数an的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（）若数列an的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列an；（）设an=3n1，求数列an的伴随数列bn的前30项之和；（）若数列an的前n项和Sn =n2+c（其中c常数），求数列an的伴随数列bn的前m项和Tm【考点】： 数列的求和【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： （）根据伴随数列的定义直接可得答案； （）由，得n1+log3m （mN*），分1m2，3m8，9m26，27m30（mN*）四种情况考虑即可；（III）由题意和an与Sn的关系式求出an，代入anm得n的
28、最大值为bm，并求出伴随数列bm的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列bm的前m项和Tm【解析】： 解：（）根据题意，易得数列为1，4，7； （）由，得n1+log3m （mN*）当1m2，mN*时，b1=b2=1当3m8，mN*时，b3=b4=b8=2当9m26，mN*时，b9=b10=b26=3当27m30，mN*时，b27=b28=b29=b30=4b1+b2+b30=12+26+318+44=84；（III）a1=S1=1+c=1，c=0；当n2时，an=SnSn1=2n1，an=2n1 （nN*）由an=2n1m得： （mN*）因为使得anm成立的n的最大值为bm，所以b1=b2=1，b3=b4=2，b2t1=b2t=t （tN*）当m=2t1 （tN*）时：=t2=，当m=2t （tN*）时：=t2+t=所以 【点评】： 本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题
