1、2从位移的合成到向量的加法21向量的加法, )1问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题 试一试：教材P81习题22 B组T1，T2，T3你会吗？ 1向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A作法作a，b，再作向量结论向量叫做a与b的和，记作ab，即ab图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O作法以同一点
2、O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a00aa.2向量加法的运算律运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量()(2)|ab|a|b|等号成立的条件是ab.()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线()解析：(1)正确根据向量和的定义知该说法正确(2)错误条件应为ab，且a，b的方向相同(3)错误当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线答案：(1)(2)(3)2若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是()A若向量a与
3、b方向相反，且|a|b|，则向量ab与a的方向相同B若向量a与b方向相反，且|a|b|，则向量ab与a的方向相同C若向量a与b方向相同，则向量ab与a的方向相同D若向量a与b方向相同，则向量ab与b的方向相同解析：选B.因为a与b方向相反，|a|b|，所以ab与a的方向相反，故B不正确3化简下列各向量：(1)_(2)_解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1).(2).答案：(1)(2)4在ABC中，a，b，c，则abc_解析：由向量加法的三角形法则，得，即abc0.答案：01对向量加法的三角形法则的四点说明(1)适用范围：任意向量(2)注意事项：两个向量一定首尾相连；和向量的起点是第一
4、个向量的起点，终点是第二个向量的终点(3)方法与步骤：第一步，将b(或a)平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连；第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和也称“首尾相连，连首尾”(4)图示：如图所示2对向量加法的平行四边形法则的四点说明(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线(2)注意事项：两个非零向量一定要有相同的起点；平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a与b的和(4
5、)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.(链接教材P81习题22 A组T3)解法一：如图(1)，在平面内作a，b，则ab；再作c，则abc.法二：如图(2)，在平面内作a，b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则ab；再作c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则abc.方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的
6、和1(1)如图所示，已知向量a和b，求作ab.(2)如图，已知a，b，c三个向量，试求作和向量abc.解：(1)法一：(三角形法则)如图所示在平面上任取一点O，作a，b；连接OB，则ab.法二：(平行四边形法则)如图所示在平面上任取一点O，作a，b；以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则ab.(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O，作向量a，再作向量b，则得向量ab，然后作向量c，则向量即为所求向量的加法运算(1)下列等式不正确的是()a(bc)(ac)b；0；.A BC D(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：；.(链接教材P81习题22A组T5(1)(2)解(1)选
7、B.由向量的加法满足结合律知正确；因为0，故不正确；成立，故正确(2)().()()000.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序2(1)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.，B.C.D.(2)化简下列各式：()()_解析：(1)因为，所以.(2)()()0.()()()0.
8、答案：(1)C(2)0向量加法的应用(1)已知图中电线AO与天花板的夹角为60，电线AO所受拉力|F1|24 N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|12 N，则F1与F2的合力大小为_N；方向为_(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A经过B再走回到A最少需几步？(链接教材P77例1，例2，P78例3)解(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F1F2.在OAC中，|F1|24，|12，OAC60，所以OCA90，|12，所以F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上故填12和竖直向上(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线
9、为ABCDA，即0，所以最少需四步本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A经过B再走回A时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A经过B再走回A时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量(2)应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解3(1)若a表示向东走8 km，b表示向北走8 km，则|ab|_km，ab的方向是_(2)如图所
10、示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解：(1)设a，b，则ab.又因为|8，|8，所以|ab|8.又因为AOC45，所以ab的方向是北偏东45.故填8和北偏东45.(2)设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意有|8008001 600(km)，又35，55，ABC355590，所以|800(km)易错警示未能正确理解向量加法致误
11、小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.解析如图，设船在静水中的速度为|v1|10 km/h，河水的流速为|v2|10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2|v2|2|v0|2，得(10)2102|v0|2，所以|v0|20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.答案20错因与防范(1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错(2)向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；船在静水中的航行速
12、度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小4(1)一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h，该船的实际航程为_km.(2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解：(1)由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度因为|2，|4，AOB120，则CBO60，又因为AOCBCO90，所以|2，所以船的实
13、际航行速度为2 km/h，则实际航程为236(km)故填6.(2)作出图形，如图船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在RtACD中，|v水|10 m/min，|v船|20 m/min，所以cos ，所以60，从而船与水流方向成120的角故船行进的方向是与水流的方向成120角的方向1已知下面的说法：如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向与a或b的方向相同；在ABC中，必有0；若0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B.当ab0时，
14、不成立；说法正确；当A，B，C三点共线时，也可以有0，故此说法不正确；当a，b共线时，若a，b同向，则|ab|a|b|；若a，b反向，则|ab|a|b|；当a，b不共线时，|ab|a|b|，故此说法不正确2如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是()A.B.0C.D.解析：选A.如题图，可知，0，故A正确3化简()()_解析：原式()().答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1在四边形ABCD中，若，则()A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是菱形C四边形ABCD是正方形D四边形ABCD是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD
15、是平行四边形故选D.2如图所示，在平行四边形ABCD中，()A. BC. D解析：选C.()0.3已知a，b，c是非零向量，则(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ab)，c(ba)中，与向量abc相等的个数为()A5 B4C3 D2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与abc相等，故选A.4如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A. BC. D解析：选C.设a，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a，则a与长度相等，方向相同，所以a.5设a()()，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()ab；aba；ab
16、b；|ab|a|b|；|ab|a|b|.A BC D解析：选C.因为()()a0.所以ab，abb，即正确，错误，而a0时，|ab|b|a|b|，故错误，正确6当非零向量a，b满足_时，ab平分以a与b为邻边的平行四边形的内角解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角答案：|a|b|7矩形ABCD中，|AB|，|1，则向量的长度等于_解析：因为ABCD为矩形，所以，所以，如图，过点C作，则，所以|2|24.答案：48在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是_(图形)解析：如图所示，又|，所以|，则四边形ABCD是矩形答案：矩形9如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC
17、上两点，且BPQC.求证：.证明：，所以.因为与大小相等，方向相反，所以0，故0.10如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力解：如图，在平行四边形OACB中，AOC30，BOC60，则在OAC中，ACOBOC60，OAC90，设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，|300 N，所以|cos 30150 N，|cos 60150 N.所以与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.B.能力提升1设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同的点
18、，则使0成立的点M的个数为()A0 B1C2 D4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即0.当A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2已知|3，|3，AOB60，则|()A. B3C2 D3解析：选D.在平面内任取一点O，作向量，以，为邻边作OACB，则.由题意知四边形OACB为菱形，又AOB60，所以|23sin 603.3已知G是ABC的重心，则_解析：如图，连接AG并延长交BC于E，点E为BC中点，延长AE到D，使GEED，则，0，所以0.答案：04若|10，|8，则|的取值范围是_解析：如图，固
19、定，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，|为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，|取最小值2，当C在C2处时，|取最大值18.答案：2，185一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30方向行驶2 km，然后又向西行驶2 km，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知，所以可表示两次位移的和位移由题意知，在RtABC中，BAC30，所以BCAC1，AB.在等腰ACD中，ACCD2，所以DDACACB30，所以BAD60，AD2AB2，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60，位移的大小为2 km.6(选做题)在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|1，0，cosDAB.求|与|.解：因为0，所以，所以四边形ABCD为平行四边形，又|1，知四边形ABCD为菱形因为cosDAB，DAB(0，)，所以DAB，所以ABD为正三角形，所以|2|.|1.
